阿基米德中點定理

若为同侧：在线段${\displaystyle {\overline {AD}}}$上取点${\displaystyle X}$，使得${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {DC}}}$，由于${\displaystyle {\overline {MD}}\perp {\overline {AC}}}$，有

${\displaystyle {\overline {MX}}={\overline {MC}}}$。又因为${\displaystyle M}$为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$中点，${\displaystyle {\overset {\frown }{AM}}={\overset {\frown }{BM}}}$。

同时由圆周角定理知：

${\displaystyle \angle MAC=\angle MBC}$，${\displaystyle \angle ABM=\angle ACM}$，

所以 ${\displaystyle \angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB}$ ，

所以 ${\displaystyle \angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC}$，

所以 ${\displaystyle \triangle AMX\cong \triangle BMC}$，

所以 ${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BC}}}$，${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AX}}+{\overline {XD}}={\overline {DC}}+{\overline {CB}}}$，命题得证。

若为异侧：在线段${\displaystyle {\overline {AD}}}$延长线上取点${\displaystyle X}$,使${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {AD}}}$.因为${\displaystyle M}$为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$中点，所以${\displaystyle \angle ACM=\angle BCM}$。又因为四边形${\displaystyle AMBC}$为圆内接四边形，所以，延长${\displaystyle {\overline {CB}}}$至${\displaystyle P}$，则${\displaystyle \angle MBP=\angle MAC}$。但是${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DX}}}$，${\displaystyle \angle ADM}$为直角，所以${\displaystyle \triangle ADM\cong \triangle XDM}$ ； ${\displaystyle \angle MAC=\angle AXM}$ ； ${\displaystyle \angle MBP=\angle AXM}$ ； ${\displaystyle \angle CXM=\angle CBM}$ 。

又${\displaystyle {\overline {CM}}={\overline {CM}}}$，所以 ${\displaystyle \triangle CXM\cong \triangle CBM}$ 。

承上所述，所以${\displaystyle {\overline {CX}}={\overline {CB}}}$。所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DC}}-{\overline {CX}}={\overline {DC}}-{\overline {CB}}}$。

• Java程式 (by Jim Loy)