阿蒂亞-辛格指標定理

• X 是緊微分流形。
• E 與 F 是 X 上的向量叢。
• ${\displaystyle D:E\to F'}$是向量叢之間的橢圓偏微分算子。

設 ${\displaystyle D}$ 是帶 ${\displaystyle k}$ 個變元 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ 的 ${\displaystyle n}$ 階微分算子。其符號定義是以 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k}}$ 為變元的函數，其定義是將

${\displaystyle D=\sum _{r=0}^{n}\sum _{i_{1}+\ldots +i_{k}=r}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}({\vec {x}})\partial _{x_{1}}^{i_{1}}\cdots \partial _{x_{k}}^{i_{k}}}$

映至

${\displaystyle \sum _{i_{1}+\ldots +i_{k}=n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}({\vec {x}})y_{1}^{i_{1}}\cdots y_{k}^{i_{k}}}$

因此符號對變元 ${\displaystyle {\vec {y}}}$ 是個 n 次齊次多項式。若此多項式滿足 ${\displaystyle P({\vec {y}})=0\Leftrightarrow {\vec {y}}=0}$，則稱 ${\displaystyle D}$ 是橢圓算子。

例一. 帶 ${\displaystyle k}$ 個變元的拉普拉斯算子其符號為 ${\displaystyle y_{1}^{2}+\ldots y_{k}^{2}}$，這是一個橢圓算子。

以上所述是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ 上的偏微分算子。今考慮微分流形 ${\displaystyle X}$，其上的 ${\displaystyle n}$ 階偏微分算子可以藉局部坐標系定義。此時其符號是 ${\displaystyle X}$ 的餘切叢 ${\displaystyle p:T^{*}X\to X}$ 上的函數；對固定的 ${\displaystyle x\in X}$，其符號是向量空間 ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$ 上的 ${\displaystyle n}$ 次齊次函數，此定義與局部座標的選取無關（偏微分算子在坐標變換下的變換較為複雜，只能以射流叢定義；然而其最高階項的變換規律似於張量）。

進一步言之，對於向量叢之間的偏微分算子 ${\displaystyle D:E\to F}$（一樣以局部坐標定義），其符號是拉回叢 ${\displaystyle p^{*}\mathrm {Hom} (E,F)}$ 的截面。若對每個 ${\displaystyle x\in X}$，此符號限制為可逆映射 ${\displaystyle E_{x}\to F_{x}}$，則稱 ${\displaystyle D}$ 為橢圓算子。

粗略來說，橢圓算子的關鍵特性在於它們「幾乎」可逆。對於緊流形上的橢圓算子 ${\displaystyle D:E\to F}$，存在一個橢圓偽微分算子 ${\displaystyle D'}$ 使得 ${\displaystyle DD'}$ 與 ${\displaystyle D'D}$ 都是緊算子。由此可推知 ${\displaystyle D}$ 的核與餘核都是有限維的。

既然 ${\displaystyle D}$ 有偽逆，它便是 Fredholm 算子。對這類算子，可定義指標為

Index(D) = Dim Ker(D) − Dim Coker(D) = Dim Ker(D) − Dim Ker(D^*)。

在微分幾何的脈絡下，常另稱為${\displaystyle D}$的解析指標。

例二. 考慮流形 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}:=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$，算子 ${\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-\lambda }$，其中 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，這是最簡單的橢圓算子。若 ${\displaystyle \lambda \in 2\pi i\mathbb {Z} }$，則 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (D)=\mathbb {C} e^{\lambda x}}$，反之則為零空間；其伴隨算子 ${\displaystyle D^{*}}$ 滿足類似的性質，不難算出 ${\displaystyle D}$ 的指數為零。由此例可見 ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} (D)}$ 與 ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} (D^{*})}$ 在 ${\displaystyle \lambda }$ 變化時可能有不連續點，但其差則是個常數。

設 ${\displaystyle X}$ 是 n 維緊微分流形，橢圓偏微分算子 ${\displaystyle D:E\to F}$ 的拓撲指標定義為

${\displaystyle (-1)^{n}\mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)}$

換言之，是同調類 ${\displaystyle \mathrm {ch} (D)\mathrm {Td} (X)}$ 的最高維項在 ${\displaystyle X}$ 的基本同調類上的取值。在此：

• ${\displaystyle \mathrm {Td} (X)}$ 是流形的 Todd 類。
• ${\displaystyle \mathrm {ch} (D)=\phi ^{-1}(\mathrm {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))}$，在此 ${\displaystyle \phi :H^{k}(X,\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X),\mathbb {Q} )}$ 是托姆同構，${\displaystyle B(X),S(X)}$ 指單位球叢及其邊界。
• ${\displaystyle \mathrm {ch} }$ 是陳特徵，${\displaystyle \sigma (D)}$ 是 ${\displaystyle D}$ 的符號，而 ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$ 是 K 理論中定義的差元。

在特别的情况下，上方的定义可以被简单化。设${\displaystyle X}$为一个 ${\displaystyle 2m}$维、可定向、紧的流行，还假设它的欧拉示性数不等于零。引用托姆同构并从分类空间${\displaystyle BSO}$的上同调环拉回欧拉类的逆元，我们可以将拓朴指标写为

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

符號同前。橢圓算子 ${\displaystyle D}$ 的解析指標在微小的擾動下不變，因此產生了一個自然的問題，稱為指標問題：可否以流形 ${\displaystyle X}$ 及向量叢 ${\displaystyle E,F}$ 的拓撲不變量表示解析指標？

阿蒂亞-辛格指標定理給出的解答是：

D 的解析指標等於拓撲指標

解析指標通常難以計算，而拓撲指標儘管定義複雜，卻往往有直截了當的幾何意義。藉由選取適當的橢圓算子 ${\displaystyle D:E\to F}$，指標定理可以給出豐富的幾何信息。

蓋爾芳特首先注意到解析指標的同倫不變性，並在1959年提出了橢圓算子的指標問題，希望以流形的拓撲不變量描述解析指標。黎曼-羅赫定理是最早知道的特例；另一方面，波萊爾與希策布魯赫早先證明了自旋流形的Â虧格的整性，並猜想這個性質可以由某個狄拉克算子的指標詮釋。這個問題也由阿蒂亞與辛格在1961年聯手解決。

阿蒂亞與辛格在1963年宣佈他們的指標定理，但一直沒有正式發表，只出現在 Palais 在1965年出版的書上。他們在1968年發表了第二個證明，用K理論取代了初版證明中的配邊論手法。

阿蒂亞、博特與 Patodi 在 1973 年以熱傳導方程的手法給出另一個證明。格茨勒基於愛德華·維騰（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，給出了局部狄拉克算子的局部指標定理的簡短證明，這涵攝了實際應用中的大多數例子。

• 推廣至橢圓偽微分算子的情形。
• 考慮更一般的橢圓複形，這是一個由向量叢構成的上鏈複形

0 → E₀ → E₁ →E₂ → ... → E_m →0

其中的每個箭頭都是偽微分算子，其符號構成一個正合複形。當只有兩項非零時，前述條件等價於其間的算子是橢圓的，因此橢圓算子是橢圓複形的特例。反過來說，給定一個橢圓複形，分別考慮其奇次項與偶次項的直和，其間的映射由原複形的映射及伴隨映射給出，如此則可得到橢圓算子。

• 帶邊界的流形。
• 考慮一族以流形 ${\displaystyle Y}$ 為參數空間而變化橢圓算子，相應的解析指數可定義為 ${\displaystyle K(Y)}$ 的元素。
• 設李群 ${\displaystyle G}$ 作用在緊流形 ${\displaystyle X}$ 上，並與所論的橢圓算子交換，則我們可以用等變K理論替代一般的K理論，得到的結果稱為等變指標定理。
• L² 指標定理。

當阿蒂亞與辛格在2004年獲得阿貝爾獎時，公告上是這麼形容阿蒂亞-辛格指標定理的：

• Rafe Mazzeo: The Atiyah-Singer Index Theorem: What it is and why you should care （页面存档备份，存于）. PDF 格式.
• Raussen, Skau, Interview with Atiyah, Singer （页面存档备份，存于）, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators
• M. I. Voitsekhovskii, M.A. Shubin, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• A. J. Wassermann, Lecture Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem