階加

为了将递推关系扩展到n = 0，有必要定义

${\displaystyle 0?=0}$

所以

${\displaystyle 1?=1+0?=1.}$

非整数值的阶加函数也可以使用公式${\displaystyle n?={\frac {n(n+1)}{2}}}$。

例如：${\displaystyle ({\frac {1}{2}})?={\frac {3}{8}}}$

类似于双阶乘[4]，所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n的双阶加，和表示为n??。定义为

${\displaystyle (2k-1)??=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1)\,.}$

例如：${\displaystyle 9??=1+3+5+7+9=25}$.

n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。[5]它开始为

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...（OEIS數列A000290）

质数阶加可以作为質數階乘的一个类似物，表示为n§。它被定义为小于或等于n的质数之和，即

${\displaystyle n\S =p_{\pi (n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,}$

${\displaystyle \pi (n)}$是素数计数函数。

例如：${\displaystyle 11\S =p_{5}\S =2+3+5+7+11=28}$

前几个结果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...（OEIS數列A007504）

倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个調和數。[6]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}.}$

例如：${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}.}$