集合建構式符號

海什木（Alhazen）的正整數和公式推導。

以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：

${\displaystyle 1=1}$

${\displaystyle 1+2=3}$

${\displaystyle 1+2+3=6}$

${\displaystyle 1+2+3+4=10}$

${\displaystyle 1+2+3+4+5=15}$

${\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \vdots }$

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n=S}$

其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：

${\displaystyle T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}}$

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

• 偶數集合 = ${\displaystyle \{x:x}$是2的倍數${\displaystyle \}}$
• 負數集合 = ${\displaystyle \{x:x}$是小於0的數${\displaystyle \}}$

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：

${\displaystyle A=\{x:P(x)\}}$

以偶數集合為例，其謂詞${\displaystyle P=}$「是2的倍數」。${\displaystyle P(x)=}$「${\displaystyle x}$是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合${\displaystyle A}$的元素必定是另一個集合${\displaystyle B}$的元素${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle P(x)}$為真（亦即，${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的一個子集），一般表述為：

${\displaystyle A=\{x:x\in B,P(x)\}}$或是${\displaystyle A=\{x\in B:P(x)\}}$

在這裡，${\displaystyle P}$是謂詞，${\displaystyle x}$是主詞（${\displaystyle B}$集合中的一個元素），${\displaystyle P(x)}$是一個傳回真假值的命題函數：

${\displaystyle P\colon B\rightarrow \{true,false\}}$

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定${\displaystyle B}$集合，就表示${\displaystyle B}$集合是由謂詞${\displaystyle P}$所給出。

• 正整數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$是大於0的整數${\displaystyle \}}$
  • ${\displaystyle \{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}}$
• 偶數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$是2的倍數${\displaystyle \}}$
  • ${\displaystyle \{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}}$
• 負數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x~|~x}$是小於0的數${\displaystyle \}}$
  • ${\displaystyle \{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}}$
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}}$
• 平方數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x~|~x}$是某個整數的平方${\displaystyle \}}$
  • ${\displaystyle \{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}}$
  • ${\displaystyle \{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}}$
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {N}$ :\exists k\in \mathbb {Z} } s.t. ${\displaystyle k^{2}=x\}}$

在這裡，有幾個習慣用法：

• 冒號和豎線是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是${\displaystyle \ni }$。但是偶爾也會看到這樣的句子，奇數：

${\displaystyle \{n\in \mathbb {Z}$ :\exists k\in \mathbb {Z} :n=2k+1\}}

另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：

${\displaystyle \{2n+1:n\in \mathbb {Z} \}}$

• 一般來說，${\displaystyle \forall }$是省略不寫的，但是偶爾會看到使用${\displaystyle \forall }$的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：

${\displaystyle \{x\in \mathbb {N}$ :\forall k\in \mathbb {Z} ,k^{2}\neq x\}}

• 逗號（,）、分號（;）與合取（${\displaystyle \land }$）的意思是一樣的，都是合取（${\displaystyle \land }$）。
• 當元素的數域已經由命題所給出，通常就省略不寫。

• 抽象化 (數學)
• 一階邏輯

• StackExchange: Set-builder notation: is there another symbol for“such that”? （页面存档备份，存于）
• StackExchange: When are these set-builder notations the same and different? （页面存档备份，存于）
• Some Fregean Considerations on Predicates and Their Reference （页面存档备份，存于）