雙積

令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為預加法範疇，因而任兩個對象 ${\displaystyle A,B}$ 間的態射集 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$ 是交換群。給定有限個對象 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$，假設有：

• 對象 ${\displaystyle A}$，通常表作 ${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$。
• 態射 ${\displaystyle p_{k}:A\to A_{k}}$（稱為射影）
• 態射 ${\displaystyle i_{k}:A_{k}\to A}$（稱為內射）

並假設：

• ${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}}$
• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}}$
• ${\displaystyle k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0}$

則稱 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ 的雙積。

注意到若在定義中取 ${\displaystyle n=0}$，則「空雙積」是一個對象 ${\displaystyle 0}$，使得恆等映射是零映射。

• 交換群範疇中存在雙積，此時的雙積即直和。
• 一個域或除環上的向量空間也有雙積，即向量空間的直和。

• 如果空雙積存在，並且所有二元雙積 ${\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}}$ 存在，則所有雙積皆存在。
• 預加法範疇中的雙積同時是範疇意義下的積與上積，這是雙積一詞的由來。由此可導得空雙積是零對象。
• 反之，預加法範疇中的積或上積也帶有自然的雙積結構。