雷米茲演算法

算法的主要目的是从一个集合${\displaystyle X}$得到一个可以逼近函数${\displaystyle f}$的多项式。集合${\displaystyle X}$由近似的区间上的${\displaystyle n+2}$个取样点${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n+2}}$组成，通常由Chebyshev多项式线性映射至该区间得到。算法步骤如下：

1. 解线性方程组

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}$ (其中 ${\displaystyle i=1,2,...n+2}$),

未知数为 ${\displaystyle b_{0},b_{1},...,b_{n}}$ 和 ${\displaystyle E}$。

1. 使用 ${\displaystyle b_{i}}$ 作為多項式 ${\displaystyle P_{n}}$ 的係數。
2. 找出${\displaystyle |P_{n}(x)-f(x)|}$的局部极大误差点，组成集合${\displaystyle M}$。
3. 若所有 ${\displaystyle m\in M}$ 都是相同大小，仅正负号不同的话，则 ${\displaystyle P_{n}}$ 为极小化极大逼近多项式。否则的话，使用${\displaystyle M}$取代${\displaystyle X}$并重复上述步骤。

此结果称为极小化极大逼近算法的最佳逼近多项式。

在此將提供先前簡述步驟的詳細內容，在這個章節令指數 i 從 0 跑到 n+1.

步驟 1: 給定 ${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n+1}}$, 求 n+2 條等式之線性系統之解

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}$ (其中 ${\displaystyle i=0,1,...n+1}$),

對於未知的 ${\displaystyle b_{0},b_{1},...b_{n}}$ 和 E.

可以很清楚地觀察到，在這個式子裡 ${\displaystyle (-1)^{i}E}$ 若要成立，只有在節點 ${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$ 為 排序 的情況下才能達到，無論是嚴格遞增或遞減。這樣一來這個線性系統便有唯一解。(廣為人知的，並非每個線性系統都可以求解)。 此外，求解之複雜度最少為 ${\displaystyle O(n^{2})}$ ，而一個從函式庫求解的標準計算器需要 ${\displaystyle O(n^{3})}$ 的複雜度，在此有一簡單證明:

計算前n+1個節點之 ${\displaystyle f(x)}$ 標準 n 階插值 ${\displaystyle p_{1}(x)}$， 以及對於 ${\displaystyle (-1)^{i}}$ 之標準 n 階插值 ${\displaystyle p_{2}(x)}$

${\displaystyle p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0,...,n.}$

至此，需要 ${\displaystyle O(n^{2})}$ 次數值運算。

在 ${\displaystyle x_{i-1}}$ 與 ${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$ 之間，多項式 ${\displaystyle p_{2}(x)}$ 有其 i-階 零點zero between ${\displaystyle x_{i-1}}$ and ${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$，因此在 ${\displaystyle x_{n}}$ 與 ${\displaystyle x_{n+1}}$之間無任何零點，意即 ${\displaystyle p_{2}(x_{n})}$ 與 ${\displaystyle p_{2}(x_{n+1})}$ 正負號 ${\displaystyle (-1)^{n}}$ 相同。

線性組合 ${\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E}$ 亦為一 n 次多項式

${\displaystyle p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}$

選擇任何 E ，對 ${\displaystyle i=0,...,n}$ ，下列式子與上述等式相同:

${\displaystyle p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E}$

解 E 得:

${\displaystyle E\$ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}.}

如前述所提及，上式分母之兩項有相同正負號，因此

${\displaystyle p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}}$

是完整定義的。

給定 n+2 階節點，其誤差為正負輪流:

${\displaystyle p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1.}$

de La Vallée Poussin 理論說明在這種形況下，沒有誤差少於 E 之 n 次多項式存在。

步驟 2 把多項式表示由${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+...+b_{n}x^{n}}$ 轉為 ${\displaystyle p(x)}$.

步驟 3 依照以下所述改善輸入節點 ${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$ 的誤差 ${\displaystyle \pm E}$。

在每個 P-領域，現在的節點 ${\displaystyle x_{i}}$ 將被區域最大 ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ 取代，同樣在每個 N-領域， ${\displaystyle x_{i}}$ 將被區域最小取代， 在這部分並不要求高精確律。

令 ${\displaystyle z_{i}:=p({\bar {x}}_{i})-f({\bar {x}}_{i})}$， 其大小 ${\displaystyle |z_{i}|}$ 皆大於或等於 E。de La Vallée Poussin 理論及其證明也可以應用至 ${\displaystyle z_{0},...,z_{n+1}}$， 而使此 n 次多項式有最小可能誤差的新下界為 ${\displaystyle \min\{|z_{i}|\}\geq E}$。

步驟 4: 分別以 ${\displaystyle \min \,\{|z_{i}|\}}$ 與 ${\displaystyle \max \,\{|z_{i}|\}}$ 為新的上下界，此迭代演算法的終止條件為: 重複上述步驟直到 ${\displaystyle \max\{|z_{i}|\}-\min\{|z_{i}|\}}$ 足夠小且不再遞減。

有時候在最大絕對差異點的附近，會有複數個點同時被取代。

有時候相對誤差會被用來衡量函式與其近似的差異，特別是在電腦上用浮點數做運算的函式。

• Intro to DSP
• Aarts, Ronald M.; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil; and Weisstein, Eric W. . MathWorld.