電荷泵鎖相迴路

加德納的分析是以以下的近似為基礎[2]：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

CP-PLL的PDF平均輸出為

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

對應的傳遞函數為

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

若用濾波器傳遞函數${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$以及VCO傳遞函數${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

佛洛依德·加德納在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」[2]^:1856（加德納對CP-PLL的猜想）。 依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想[7]^:6：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。

為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。 令參考信號第一個下降緣的時間為${\displaystyle t=0}$。 PFD狀態${\displaystyle i(0)}$會依PFD的初始狀態${\displaystyle i(0-)}$，VCO的初始相位移${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$，以及參考信號${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流${\displaystyle i(t)}$和輸出電壓${\displaystyle v_{F}(t)}$的關係為

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

其中${\displaystyle R>0}$是電阻，${\displaystyle C>0}$是電感。 ${\displaystyle v_{c}(t)}$是電容器的電壓。 控制信號${\displaystyle v_{F}(t)}$會調整VCO頻率：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$是VCO的自由運行頻率 （也就是${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$)，${\displaystyle K_{vco}}$是VCO增益（靈敏度）、${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$是VCO相位。 最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

其中有以下的不連續分段常數非線性

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

初始條件為${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$. 此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。

在時間區間內的PFD動態

假設參考信號頻率為常數: ${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ 其中${\displaystyle T_{ref}}$、${\displaystyle \omega _{ref}}$和${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$是參考資料的週期、頻率和相位。

令${\displaystyle t_{0}=0}$， 這表示${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$是第一個PFD輸出為0的時間 （若${\displaystyle i(0)=0}$，則${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$） 且${\displaystyle t_{1}}$是VCO或參考信號的第一個下降緣。 其且，可以定義對應的遞減數列${\displaystyle \{t_{k}\}}$、${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$，其中${\displaystyle k=0,1,2...}$。

令${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$. 則在${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$時，${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$是非零的常數（${\displaystyle \pm 1}$）。 令${\displaystyle \tau _{k}}$為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號：

${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$ for ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$

${\displaystyle \tau _{k}=0}$ for ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$

若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則${\displaystyle \tau _{k}<0}$，反之，可得${\displaystyle \tau _{k}>0}$。${\displaystyle \tau _{k}}$可以看出二個信號下降緣的先後順序。在${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$區間內，PFD輸出為零，PFD ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$：

${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$ for ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$.

將${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$變成下式的變數變換[8] ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ 可以讓參數減至二個： ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$

此處${\displaystyle p_{k}}$是正規化的相位偏移，${\displaystyle u_{k}+1}$是VCO頻率 ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$相對於參考頻率${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下[4][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

此離散時間模型只在${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍[6]。

若VCO過載，也就是${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$為零， 或者是以下的式子 ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$或 ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$, 則需要考慮額外的CP-PLL動態特性[5]。 針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。 在實務上，需避免VCO的過載。

高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算[9]