电阻

處於均勻外電場的均勻截面導體（例如，電線）。

在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {E} =\rho \mathbf {J} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$是電場，${\displaystyle \rho }$是電阻率，${\displaystyle \mathbf {J} }$是電流密度。

在導體內任意兩點g、h，定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h，電場力所需做的機械功[1]：

${\displaystyle V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }}$；

其中，${\displaystyle V_{gh}}$是電壓，${\displaystyle w}$是機械功，${\displaystyle q}$是電荷量，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$是微小線元素。

假設，沿著積分路徑，電流密度${\displaystyle \mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}}$為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {l} }}}$是積分路徑的單位向量。

那麼，可以得到電壓：

${\displaystyle V_{gh}=J\rho l}$；

其中，${\displaystyle l}$是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：

${\displaystyle J=I/a}$；

其中，${\displaystyle a}$是導體的截面面積。

電壓${\displaystyle V_{gh}}$簡寫為${\displaystyle V}$。電壓與電流成正比：

${\displaystyle V=V_{gh}=I\rho l/a}$。

總結，電阻與電阻率的關係為

${\displaystyle R=\rho l/a}$。

假設${\displaystyle J>0}$，則${\displaystyle V>0}$；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功${\displaystyle w>0}$。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為${\displaystyle -V}$。從點g到點h，電壓降是${\displaystyle V}$；從點h到點g，電壓升是${\displaystyle V}$。

假設電線傳導的電流是高頻率交流電，則由於趨膚效應，電線的有效截面面積會減小。假設平行排列幾條電線在一起，則由於鄰近效應，每一條電線的有效電阻會大於單獨電線的電阻。對於普通家用交流電，由於頻率很低，這些效應非常微小，可以忽略這些效應。

絕緣體的電子能級。

根據量子力学，束縛於原子內部的電子，其能量不能假定為任意數值，而只能占有某些固定能级，在這些能級之間的數值不可能是電子的能量。這些能級可以分為兩组，一組稱為導帶，另一組稱價帶。導带的能級通常比較高一些。處於導帶的電子可以自由地移動於物體內部。

在絕緣體和半導體中，原子之間會相互影響，使得導帶和價帶之間出現能隙，電子無法處於能隙。為了要產生電流，必須給予電子相當大的能量，協助電子從價帶，跳過能隙，進入導帶。因此，即使對這些物質施加很大的电壓，產生的電流仍舊很小。

金属是一群原子以晶格結構形成的晶體，每個原子都擁有一层（或多层）由电子組成的外殼。處於外殼的电子能脫离原子核的吸引力而到处流动，形成一片電子海，使得金属能夠導电。當施加电勢差（即电压）於金屬兩端時，因為感受到电场的影响，這些自由电子會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其方向與電場方向相反。由於漂移運動，會產生電流。在现实中，物质的原子排列不可能為完全规则，因此电子在流动途中會被不按規则排列的原子散射，這是电阻的來源。

給予一個具有完美晶格的金屬晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間、具有有效質量的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷，有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會被散射。另外，假設溫度大於絕對零度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，因而出現熱震動的粒子——聲子——移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻[2]。

對於金屬，費米能級的位置在導帶區域內，因此金屬內部會出現自由的傳導電子。可是，對於半導體，費米能級的位置在能隙區域內。

本征半導體是未被摻雜的半導體，其費米能級大約為導帶最低值與價帶最高值的平均值。當溫度為絕對零度時，本征半導體內部沒有自由的傳導電子，電阻為無窮大。當溫度開始上升，高於絕對零度時，有些電子可能會獲得能量而進入傳導帶中；假設施加外電場，則這些電子在獲得外電場的能量後，會移動於金屬內部，因而形成電流。

雜質半導體是經過摻雜的半導體。靠著捐贈電子給導帶，或價帶接受空穴，外質半導體內部的雜質原子能夠增加電荷載子的密度，從而減低電阻。高度滲雜的半導體的導電性質類似金屬。在非常高溫度狀況，熱生成電荷載子的貢獻會超過雜質原子的貢獻；隨著溫度的增加，電阻會呈指數遞減。

在电解质中，电流是由带电的离子的流动產生，因此液体的电阻很受盐的浓度所影響。譬如蒸餾水是绝缘体，但盐水就是很好的導电体。

在生物体內的细胞膜，离子盐负责电流的传送。细胞膜中的小孔道，稱為離子通道，会选择什么离子可以通过。这直接決定了细胞膜的电阻。

銅金屬在不同溫度狀況的電阻溫度係數[4]。

假設溫度接近室溫，則典型金屬的電阻${\displaystyle R}$通常與溫度${\displaystyle T}$成正比[5]：

${\displaystyle R=R_{*}[\alpha (T-T_{*})+1]}$；

其中，${\displaystyle R_{*}}$是典型金屬在參考溫度為${\displaystyle T_{*}}$時的參考電阻，${\displaystyle \alpha }$是電阻溫度係數。

${\displaystyle \alpha }$是電阻變化百分比每單位溫度。每一種物質都有其特定的${\displaystyle \alpha }$。實際而言，上述關係式只是近似，真實的物理是非線性的；換句話說，${\displaystyle \alpha }$本身會隨著溫度的改變而變化。因此，通常會在${\displaystyle \alpha }$字尾添加測量時的溫度。例如，${\displaystyle \alpha _{15}}$是在溫度為15 °C時測量的電阻溫度係數；使用${\displaystyle \alpha _{15}}$為電阻溫度係數，則參考溫度${\displaystyle T_{*}}$為15 °C，參考電阻為金屬在參考溫度為15 °C時的參考電阻，而且上述關係式只適用於計算溫度在15 °C附近的電阻${\displaystyle R}$ [6]。

稍加排列，這方程式又可表示為

${\displaystyle \alpha ={\frac {R-R_{*}}{R_{*}(T-T_{*})}}}$。

取${\displaystyle R-R_{*}\to 0}$的極限，則可得到微分方程式[4]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{R_{*}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} T}}\right)_{*}}$。

所以，在溫度為${\displaystyle T_{*}}$時，物質的電阻溫度係數是，其電阻對溫度的曲線在溫度為${\displaystyle T_{*}}$時的斜率，除以溫度為${\displaystyle T_{*}}$時的電阻。

於1860年代，奧古斯土·馬西森想出馬西森定則（）。這定則表明，總電阻率${\displaystyle \rho }$可以分為兩個項目[7]：

${\displaystyle \rho =\rho _{d}+\rho _{p}}$；

其中，${\displaystyle \rho _{d}}$是由於晶體缺陷而產生的電阻率，${\displaystyle \rho _{p}}$是由於聲子而產生的電阻率。

${\displaystyle \rho _{d}}$與金屬內部的缺陷密度有關，是電阻率對溫度的曲線外推至0K時的電阻率。因此，${\displaystyle \rho _{d}}$與溫度無關。${\displaystyle \rho _{p}}$等於${\displaystyle \rho -\rho _{d}}$。假若缺陷密度不高，則${\displaystyle \rho _{p}}$通常與缺陷密度無關。${\displaystyle \rho _{p}}$與電子跟聲子的碰撞率有關，而碰撞率與聲子密度成正比。假設溫度高於德拜溫度，則聲子密度與溫度成正比，所以，${\displaystyle \rho _{p}}$與溫度成正比：

${\displaystyle \rho _{p}=C_{h}T}$、

${\displaystyle \rho =\rho _{d}+C_{h}T}$；

其中，${\displaystyle C_{h}}$是比例常數。

這方程式等價於前面電阻與溫度的關係方程式。

假設溫度低於德拜溫度，則電阻與溫度的5次方成正比[8][9][10]：

${\displaystyle \rho _{p}=C_{l}T^{5}}$；

其中，${\displaystyle C_{l}}$是比例常數。

水銀、白金、黃金在不同溫度狀況的電阻[11]。

如右圖所示，當溫度接近絕對溫度時，黃金和白金的電阻趨向於常數；而當溫度小於4.2K時，水銀的電阻突然從0.002歐姆陡降為10^-6歐姆，成為超導體。

溫度越高，本征半導體的導電性質越優良，電子會被熱能撞跳至導帶，從而可以自由的移動，也因而留下電洞於價帶，也可以自由的移動於價帶。這電阻行為以方程式表達為

${\displaystyle R=R_{0}e^{-aT}}$；

其中，${\displaystyle R_{0}}$，${\displaystyle a}$是常數。

外質半導體的電阻對於溫度的反應比較複雜。從絕對零度開始，隨著溫度增加，由於載子迅速地離開施主或受主，電阻會急劇降低。當大多數的施主或受主都失去了載子之後，电阻会因載子的遷移率（）下降而隨溫度稍为上升。当溫度升得更高，外質半導體的電阻行為類似本征半導體；施主或受主的載子數量超小於因熱能而產生的載子的數量，於是电阻会再度下降[12]。

绝缘体和电解质的电阻與溫度一般成非線性關係，而且不同物质有不同的變化，故不在此列出概括性的算式。

某些材料在温度接近绝对零度（-273.15°C）或极低的温度时会出现超导现象，目前发现的超导体的最高温度约是203开尔文（-70°C）。