时不变系统

为了表明如何确定系统是时不变系统，以下來看两个系统：

• 系统A：${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$
• 系统B：${\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}$

由于系统A除了${\displaystyle x(t)}$与${\displaystyle y(t)}$之外还显式地依赖于t所以它是时变系统，而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。

下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统A：

使用延时的信号作为输入${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}$

那么输出延时${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

很显然${\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)}$，所以系统是时变系统（time-varying）。

系统B:

以延时的信号作为输入${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}$

现在输出延时${\displaystyle \,\!\delta }$

${\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}$

显然${\displaystyle y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)}$，所以系统是非時變（time-invariant）的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

我们用${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$表示移位算子，其中${\displaystyle r}$是矢量变址组需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

${\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}$

可以用这个抽象表示

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}$

其中${\displaystyle {\tilde {x}}}$是

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

以及产生系统移位输出

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

所定义的函数，这样${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$就是输入矢量增加1的算子。

假设我们用算子${\displaystyle \mathbb {H} }$表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}$

如果系统方程是

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}$

并且如果我们可以将系统算子${\displaystyle \mathbb {H} }$首先对${\displaystyle {\tilde {x}}}$进行运算，然后再用移位算子${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$进行运算，或者首先用移位算子${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$，然后再用系统算子${\displaystyle \mathbb {H} }$进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

首先用移位算子将得到

${\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}$

如果系统是时不变的，那么

${\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

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