鞍結點分岔

一個典型鞍結點分岔的微分方程的例子如下：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

其中${\displaystyle x}$為變量，${\displaystyle r}$為分岔參數。

• 當${\displaystyle r<0}$時，該系統有两個不動點，其中一個為穩定不動點${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$，另一個為不穩定不動點${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$。
• 當${\displaystyle r=0}$時(分岔臨界點)，系統两個不動點將結合，從而只出現一個不動點。此時該不動點稱為鞍結點。
• 當${\displaystyle r>0}$時，該系統沒有任何不動點。

事實上，上述例子即為鞍-結點分岔的正則方程。對于一般的標量微分方程${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$，若其在${\displaystyle r=0}$時有不動點${\displaystyle x=0}$且同時滿足${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$時，在滿足非簡並條件(${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$)及橫向條件(${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$)時，該微分方程與正則方程局部拓扑等價。

二維系統中一個有鞍結點分岔的動力學系統如下：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

該系統相空間的性質會隨着參數${\displaystyle \alpha }$的變化而變化如下：

• 當${\displaystyle \alpha <0}$時，系統沒有不動點。
• 當${\displaystyle \alpha =0}$時，系統有一個鞍結點。
• 當${\displaystyle \alpha >0}$時，系統通過鞍結點分岔形成两個不動點，其中一個穩定(穩定結點)，另一個一穩定(鞍點)。

除此之外，鞍結點分岔同樣出現在消費者模型、生物學切換網絡等系統中。而且近年什至有人指出廣義相對論中的愛因斯坦埸方程在某些特定情況下也會出現與鞍結點分岔同樣的現象。

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