頂點 (幾何)

角的頂點是兩條射線或線段的公共端點

角是由兩條有公共端點的射线組成的幾何物件。這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點叫做角的頂點[3]。角的頂點也可以是下列定義的其中之一：

• 2條射線的起始點或交點
• 2條線段的連接或交點
• 2條直線的交點

簡而言之任何直線、線段或射線的組合，其結果中包含兩條直的二元邊交於一點者，該點稱為頂點[4]

頂點是多邊形、多面體或其他高維多胞體的角之端點。為幾何結構的邊、面或維面相交形成的交點。[4]而包含該頂點的組成之數學物件整體稱為一個頂角，其在英語中皆稱為Vertex，而頂點圖（Vertex figure）探討的則為頂角的特性，而非只探討頂點本身。[5]

在多邊形中，若一個頂點對應到的頂角，其內角小於180度則稱該頂點為凸頂點，否則為凹頂點。[6]更一般地，如果一個n維幾何體的其中一個頂點可以使這個幾何體與位於這個頂點上之充分地小的n維球體相交的話，則這個頂點為凸頂點[7]。

多胞形的頂點可以對應到圖論中的頂點，因為任何多胞形皆可以找到一個對應的邊與頂點的圖[8]，而這個幾何物件正是圖論中的一種數學物件，其頂點可以對應於原始多胞形中的頂點[9]，而這個圖可以被視為一維单纯复形，其頂點正是一個圖頂點。然而，在圖論中，頂點有可能少於兩條邊（如自環），而在幾何中無法存在這種頂角。幾何頂點和曲線的頂點之間也有關聯。曲線的頂點通常代表曲線的局部極值[10]，在某種意義上，多邊形的頂點是無限曲率的點，並且若用平滑曲線來近似一個多邊形，則在多邊形的每個頂點附近將存在極端曲率的點。[11]

在多面體中，頂點是多面體中3個或以上的面的交會點。一般情況下，多面體頂點的數量可透過歐拉特徵數計算得出。任何凸多面體表面的歐拉特徵皆符合下列等式：

${\displaystyle V-E+F=2,}$

其中V是頂點數、E是邊數、F是面數。這個等式稱為歐拉恆等式[12]，由此可知，邊的數量恆比頂點和面的數量的總和小2。例如，立方體有12條邊和6個面，因此根據歐拉恆等式可以得到有立方體有8個頂點。

平面鑲嵌的頂點是三個過更多個鑲嵌元素（即拼出平面鑲嵌的單個幾何圖形）的交會點[13]。平面鑲嵌通常由多邊形組成，且平面鑲嵌的頂點同時也是多邊形的頂點，然而有例外存在。

多邊形的頂點同時也是平面 鑲嵌的頂點之例子

其中一個反例

若一主頂點對應的對角線位於多邊形內部，則這個頂點稱為耳頂點。根據雙耳定理，任何簡單多邊形都至少會有2個耳頂點。[15]

若一主頂點對應的對角線位於多邊形外部，則這個頂點稱為嘴頂點。[16]