項測試

第n項測試（the n-th term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式[1]。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名[2]

用途

項測試和其他較強的收斂測試不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發散。例如：

若 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ 則 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 可能收斂也可能發散，此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件，卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例：

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},

配合項測試及其他測試，可得到以下的結果：

要證明此測試法，一般都會證明其逆否命题（contrapositive）形式；

若 s_n 是級數的部份和，則上述對數列的假設可推得

\lim _{n\to \infty }s_{n}=s

因此可得[3]

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0.

級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試：對任意 $\varepsilon >0$ 均存在一數字N使得

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon

在所有n > N及p ≥ 1的條件下均成立。令p = 1，即可得到[4]

\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.

項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間中[5]。

Kaczor p.336
如Rudin (p.60)只提到其相反位置（contrapositive）的形式，沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為nth term test。Stewart (p.709)稱此測試為Test for Divergence。
Brabenec p.156; Stewart p.709
Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念，但用另一種陳述柯西判別法的方式
Hansen p.55; Șuhubi p.375

Brabenec, Robert. . MAA. 2005. ISBN 0883857375.
Hansen, Vagn Lundsgaard. . World Scientific. 2006. ISBN 9812565639.
Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. . American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508.
Rudin, Walter. 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
Stewart, James. 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2.
Șuhubi, Erdoğan S. . Springer. 2003. ISBN 1402016166.

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