顺序统计量

從单位区间上的連續型均勻分布取得的樣本，其各順序統計量的边缘分布屬於Β分布族。此外，任意幾個順序統計量的联合分布也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴累积分布函数（cdf），該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中，${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$表示以${\displaystyle F_{X}}$為cdf的一組隨機樣本。記${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$，則${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$是從標準連續均勻分布抽取的對應樣本。由${\displaystyle F_{X}}$的單調性，後者的順序統計量為${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$。

順序統計量${\displaystyle U_{(k)}}$的概率密度函數（pdf）等於[2]

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.}$

換言之，均勻分佈的第${\displaystyle k}$順序統計量遵循Β分布[2][3]

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$

證明如下：欲使${\displaystyle U_{(k)}}$介乎${\displaystyle u}$與${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$之間，樣本須恰有${\displaystyle k-1}$個元素小於${\displaystyle u}$，並至少有一個介乎${\displaystyle u}$與${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$之間。該區間包含多於一個元素的概率已是${\displaystyle O(\mathrm {d} u^{2})}$（使用了大O符號），故衹需計算${\displaystyle (0,u)}$、${\displaystyle (u,u+du)}$、${\displaystyle (u+du,1)}$三區間分別恰有${\displaystyle k-1}$、${\displaystyle 1}$、${\displaystyle n-k}$個元素的概率。此即三項分佈概率

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},}$

故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為${\displaystyle k/(n+1)}$。