餘因子矩陣

對一個 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣 ${\displaystyle A}$，在 ${\displaystyle (i,j)}$ 的子行列式（余子式） ${\displaystyle M_{ij}}$ 定義為刪掉 ${\displaystyle A}$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 ${\displaystyle C_{ij}:=(-1)^{i+j}M_{ij}}$，稱為 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle (i,j)}$ 的餘因子（代数余子式）。矩陣 ${\displaystyle \mathrm {cof} (A):=(C_{ij})_{i,j}}$ 稱作 ${\displaystyle A}$ 的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 ${\displaystyle \mathrm {adj} (A)}$。

考慮三階方陣

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}$

今將計算餘因子 ${\displaystyle C_{23}}$。子行列式 ${\displaystyle M_{23}}$ 是下述矩陣（在 ${\displaystyle B}$ 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：

${\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}}$

根據定義得到

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}$

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}$

${\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.}$

對一 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

其行列式 ${\displaystyle \det A}$ 可以用餘因子表示：

${\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}}$

（對第 j 縱行的餘因子分解）

${\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}}$

（對第 i 橫列的餘因子分解）

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}}$

將餘因子矩陣

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

${\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：

${\displaystyle \mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}}$

當 ${\displaystyle \det A\neq 0}$ 時，${\displaystyle A}$ 的逆矩陣由下式給出：

${\displaystyle A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}}$

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath