有噪信道编码定理

下面这个可实现性的证明是使用渐近等同分割特性（Asymptotic equipartition property - AEP）方法。另一种信息论常用证明方法是错误列举法（Error Exponent）。

两种证明方法都使用随机编码参数来构造信道。这样的目的是减少计算的复杂度，同时仍旧可以证明在速度低于信道容量的时候，存在误码率在可接受范围甚至是接近于理想的无失真的编码方式。

采用AEP相关的参数，一个指定的信道，长度为n的源字符串${\displaystyle X_{1}^{n}}$，和长度为n的信道输出的字符串${\displaystyle Y_{1}^{n}}$，我们可以定义一个以下匹配序列集合：

${\displaystyle A_{\varepsilon }^{(n)}=\{(x^{n},y^{n})\in {\mathcal {X}}^{n}\times {\mathcal {Y}}^{n}}$

${\displaystyle 2^{-n(H(X)+\varepsilon )}\leq p(X_{1}^{n})\leq 2^{-n(H(X)-\varepsilon )}}$

${\displaystyle 2^{-n(H(Y)+\varepsilon )}\leq p(Y_{1}^{n})\leq 2^{-n(H(Y)-\varepsilon )}}$

${\displaystyle {2^{-n(H(X,Y)+\varepsilon )}}\leq p(X_{1}^{n},Y_{1}^{n})\leq 2^{-n(H(X,Y)-\varepsilon )}\}}$

我们可以说两个序列${\displaystyle {X_{1}^{n}}}$和${\displaystyle Y_{1}^{n}}$是匹配序列，如果它们是基于上述定义的匹配序列集合。

步骤

1. 在随机编码参数的方法上，我们可能的范围Q里面随机产生${\displaystyle 2^{nR}}$长度为n的编码串。
2. 这个编码和发送端与接收端有关。同样假设双方知道传输信道使用的传输矩阵${\displaystyle p(y|x)}$。
3. 在同样的范围里选择消息W，因此，${\displaystyle \operatorname {Pr} (W=w)=2^{-nR},w=1,2,...,2^{nR}}$。
4. 消息W通过信道传送。
5. 接收端收到了一个基于${\displaystyle P(y^{n}|x^{n}(w))=\prod _{i=1}^{n}p(y_{i}|x_{i}(w))}$的序列。
6. 将这些编码串通过信道发送，我们收到了${\displaystyle Y_{1}^{n}}$，如果在编码表里存在和Y匹配的一个序列，该序列并被解码成为源编码序列，如果没有找到，就报告一个错误。如果解码出的序列和原来的序列不一样，同样报告一个错误。

这个流程产生的错误可以分成两个部分：

1. 没有找到和接收到的Y序列相匹配（或在允许的误码率条件下）的X序列。
2. 接收到的Y序列解码成一个错误的X序列。

• 考虑到构造码时的随机性，我们可以假设平均的错误的产生率和码发送的序列没有关系。因此，我们假设W = 1。

• 从匹配AEP方法考虑，我们知道随着n的逐渐增加，没有对应的X的可能性慢慢降为0。我们可以用${\displaystyle \epsilon }$来标记这个错误的可能性。

• 同样从匹配AEP方法考虑，我们知道一个指定的${\displaystyle X_{1}^{n(i)}}$和${\displaystyle Y_{1}^{n}}$，作为W = 1的结果是匹配序列的可能性为${\displaystyle \leq 2^{-n(I(X;Y)-3\epsilon )}}$。

定义：${\displaystyle E_{i}=\{(X_{1}^{n}(i),Y_{1}^{n})\in A_{\epsilon }^{(n)}\},i=1,2,...,2^{nR}}$

作为消息1发送出去，消息i作为匹配的消息接收到的结果。

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{error}})&{}=P({\text{error}}|W=1)\leq P(E_{1}^{c})+\sum _{i=2}^{2^{nR}}P(E_{i})\\&{}\leq P(E_{1}^{c})+(2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&{}\leq \varepsilon +2^{-n(I(X;Y)-R-3\varepsilon )}.\end{aligned}}}$

我们可以发现如果信道${\displaystyle R<I(X;Y)}$，n变为无穷大，错误的可能性将降为0。

最后，假设平均的编码方式是“好”的话，我们知道存在一个编码方式的效率比平均的值要好，因此可以满足我们在有噪音的信道低误码率的要求。

假设一种编码有${\displaystyle 2^{nR}}$个编码词语。W假设为在这个集合上的一个索引。设${\displaystyle X^{n}}$和${\displaystyle Y^{n}}$分别为编码词和接收到的词。

1. ${\displaystyle nR=H(W)=H(W|Y^{n})+I(W;Y^{n})\;}$使用同样的熵和同样的信息
2. ${\displaystyle \leq H(W|Y^{n})+I(X^{n}(W);Y^{n})}$X是W的一个函数
3. ${\displaystyle \leq 1+P_{e}^{(n)}nR+I(X^{n}(W);Y^{n})}$使用Fano不等式
4. ${\displaystyle \leq 1+P_{e}^{(n)}nR+nC}$信道容量设为最大化

这些步骤的结果是${\displaystyle P_{e}^{(n)}\geq 1-{\frac {1}{nR}}-{\frac {C}{R}}}$。当块的长度变为无穷大，如果R比C大，我们得到${\displaystyle P_{e}^{(n)}}$不可能降到0。只有在R比C小的情况下，我们可以得到任意低的误码率。

强逆定理证明由Wolfowitz于1957年提出。[1]，证明归结于证明如下不等式，

${\displaystyle P_{e}\geq 1-{\frac {4A}{n(R-C)^{2}}}-e^{-n(R-C)}}$

其中${\displaystyle A}$为有限的正常数。当${\displaystyle n}$变为无穷大的时候，弱逆定理证明错误的可能性不可能变成0，而强逆定理证明了错误以指数方式趋向于1。因此，${\displaystyle C}$是可靠连接和不可靠连接的临界点。

证明方法和上面信道编码定理几乎一样。在指定的信道里面，每一个符号的选择是随机的，编码方式也是随机的，采用渐近等同分割特性（AEP）方法来定义变化的无记忆信道的参数集。

当${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}C_{i}}$不收敛时，下极限开始起作用。

• 克劳德·艾尔伍德·香农：《通信的数学理论 （页面存档备份，存于）》Urbana, IL:University of Illinois Press, 1949（reprinted 1998）。
• 艾米尔·范斯坦：《信息论的一个新的基础定理》IEEE Transactions on Information Theory, 4(4):2-22, 1954.
• 罗卜特·梵高：《信息传输，通信的一个统计理论》Cambridge, Mass., M.I.T. Press, 1961. ISBN 0-262-06001-9
• 雅各布·Wolfowitz：《面对误码的信息编码》Illinois J. Math., vol. 1, pp. 591-606, 1957.
• David J. C. MacKay.《信息论推理，算法演绎》Cambridge: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-64298-1
• Thomas Cover, Joy Thomas，《信息论要素》。New York, NY:John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-06259-6