馬德隆常數

在一個晶體內，其中一個離子的總電勢能，可表示為它與距離最近的另一個離子的電勢能的 $M$ 倍， $E=ME_{0}$ ，其中 $E_{0}$ 為兩個離子的系統的電勢能， $E_{0}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}r_{0}}}$ 。 $M$ 稱為馬德隆常數（Madelung constant），其值與晶體結構有關。

NaCl的結構

在固體離子化合物內，正離子和負離子互相吸引，將離子分開需要能量。

晶體	結構	配位	M
CsCl	簡單立方	8:8	1.763
NaCl	面心立方	6:6	1.748
纖鋅礦 (ZnS, Wurtzite)		4:4	1.641
閃鋅礦 (ZnS, Zinc blende)		4:4	1.638
螢石 (CaF₂, Florite)		8:4	2.520
金紅石 (TiO₂, Rutile)		6:3	2.408

計算

對於面心立方結構（如NaCl），M的值看來可用下面的級數計算：

M=\sum _{i,j,k=-\infty }^{\infty }\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}

(1),

撇號表示 $i=j=k=0$ 的一項不在計算範圍。此級數為條件收斂，故求和順序需特別注明。常見的求和順序有兩種：

以類球形的晶體來逼近：

\lim _{N\to \infty }\sum _{i^{2}+j^{2}+k^{2}<N}\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}

, (2)

以立方形的晶體來逼近：

\lim _{n\to \infty }\sum _{-n<i,j,k<n}\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over {(i^{2}+j^{2}+k^{2})^{1/2}}}

, (3)

然而(2)的求和順序是發散的，(3)才能給出正確的結果。

參考

https://web.archive.org/web/20080607070543/http://www.chemistry.ohio-state.edu/~woodward/ch754/ionicbonding.htm

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