超几何函数

超几何方程的指标方程为

${\displaystyle \rho (\rho -1)+c\rho =0}$

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。

当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

只需作代换 t=1-z，方程变为：

${\displaystyle t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.}$

当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)}$

当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数[1]会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

${\displaystyle \alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a}$

${\displaystyle a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha }$

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

${\displaystyle {\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)}$

${\displaystyle {\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)}$

${\displaystyle {\text{At }}\infty$ :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})}

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

${\displaystyle G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)}$

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}}$

${\displaystyle (-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}}$

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

${\displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);}$

则

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}}$

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C ₂F₁(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

由 a,b 的对称性自然有：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

${\displaystyle u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}}$

则

${\displaystyle z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}}$

取

${\displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)}$

由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)^-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}}$

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（F_α,β,μ 恒等于 F_α,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }}$

下面是一个二次变换的例子：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}}$

令

${\displaystyle c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})}$

则

${\displaystyle 1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}}$

取

${\displaystyle w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)}$

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)}$

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数（左）	李代数参数（右）	${\displaystyle f(z)}$	${\displaystyle g(z)}$	${\displaystyle P(z)}$
${\displaystyle \alpha ,\mu ,\mu }$	${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{2}},\mu ,{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2}}z)^{-b}}$	${\displaystyle \left({\tfrac {z}{2-z}}\right)^{2}}$	${\displaystyle |\arg(1-z)|<\pi }$
${\displaystyle \mu ,\beta ,\mu }$	${\displaystyle \mu ,{\tfrac {\beta }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1+z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z}{(1+z)^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
${\displaystyle \alpha ,\alpha ,\mu }$	${\displaystyle \alpha ,{\tfrac {\mu }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-2z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}}}$	${\displaystyle \Re z<{\tfrac {1}{2}}}$

另外还有：

${\displaystyle {\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi }$

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)}$

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。