高斯-勒让德算法

a₀和b₀两个数的算术-几何平均数，是通过计算它们的序列极限得到的：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}}$

两者汇聚于同一极限。
若${\displaystyle a_{0}=1\!}$且${\displaystyle b_{0}=\cos \varphi \!}$，则极限为${\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!}$，其中${\displaystyle K(k)\!}$为第一类完全椭圆积分：

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!}$

若${\displaystyle c_{0}=\sin \varphi \!}$，${\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!}$，则

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!}$

其中${\displaystyle E(k)\!}$为第二类完全椭圆积分：

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi \over 2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!}$

高斯知道以上这两个结果。[3] [4] [5]

对于满足${\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!}$的${\displaystyle \varphi \!}$与${\displaystyle \theta \!}$，勒让德证明了以下恒等式：

${\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!.}$[3]

${\displaystyle \varphi =\theta ={\pi \over 4}\!}$的值可以代入勒让德恒等式，且K、E的近似值可通过${\displaystyle a_{0}=1\!}$与${\displaystyle b_{0}=\sin {\pi \over 4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\!}$的算术-几何平均数的序列项得到。[6]