高歐拉商數

高歐拉商數（）k是有以下性質，大於1的正整數：使以下方程式有多個解

φ(x) = k

其中φ是歐拉函數，而且若k用其他較小的整數代入時，解的個數都會比剛剛的個數要少。

例如方程式φ(x) = k，在k=1,2,3,4,5,6,7,8時，分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解，φ(x) = 8有5個解，若代入小於8的數值，解都少於5個，因此8是高歐拉商數。

頭幾個高歐拉商數是：

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 （OEIS數列A097942）.

分別使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72個解。若將使φ(x) = k分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列，則高歐拉商數會是此數列的一個子集[1]。例如8為高歐拉商數，φ(x) = 8有5個解，表示任何小於8的整數都無法使φ(x) = k有5個解，因此8是使φ(x) = k有5個解的最小k值。

若x的質因數分解為${\displaystyle x=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$，其歐拉商數為以下的乘積：

${\displaystyle \phi (x)=\prod _{i}(p_{i}-1)p_{i}^{e_{i}-1}.}$

因此，高歐拉商數和較小的整數相比，高歐拉商數可以表示為更多種以上式表示的乘積。

高歐拉商數的概念有點類似高合成數；1既是高合成數中唯一的奇數，也是高歐拉商數中唯一的奇數（其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數）。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個，不過隨著數字的增加，要找到高歐拉商數也就越來困難，因為歐拉商數和質因數分解有關，數字越大，就越難進行質因數分解。