高级Z变换

高級Z轉換（英語：Advanced z-transform，或 modified z-transform）是Z轉換的延伸，是數學及信號處理領域中的工具，它將不是取樣週期整數倍的延遲考慮進去。具有以下形式

F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}

其中

T為取樣週期

m為延遲參數（delay parameter）， $0\leq m<T$

性質

如果延遲參數m固定，則Z轉換具有的性質在高級Z轉換也都成立。

線性

{\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m)

時移

{\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m)

Z域的尺度性質

{\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m)

微分

{\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m)

終值定理

\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m)

範例

以下計算 $f(t)=\cos(\omega t)$ 的高級Z轉換：

{\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\end{aligned}}

若 $m=0$ ，則 $F(z,m)$ 簡化為

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

正是 $f(t)=\cos(\omega t)$ 的Z轉換

參考文獻

Eliahu Ibrahim Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.

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