加性高斯白噪声

AWGN 信道由一系列的${\displaystyle Y_{i}}$（输出） 来表示，其中的 ${\displaystyle i}$ 表示离散的时间事件索引。${\displaystyle Y_{i}}$ 是 ${\displaystyle X_{i}}$（输入）和${\displaystyle Z_{i}}$（噪声）的数值和，其中 ${\displaystyle Z_{i}}$ 是独立恒等分布的随机变量并来自于均值为 0，方差为 ${\displaystyle N}$（噪声） 的正态分布。${\displaystyle Z_{i}}$ 可以进一步认为和 ${\displaystyle X_{i}}$ 有关。

${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,N)\,\!}$

${\displaystyle Y_{i}=X_{i}+Z_{i}\,\!}$

信道的容量是无穷的，除非噪声 ${\displaystyle n}$ 非零且 ${\displaystyle X_{i}}$ 有足够的约束。输入中最常见的约束被叫做功率约束，这要求码字${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})}$ 通过信道传送。我们有：

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,\,\!}$

其中 ${\displaystyle P}$ 代表信道功率的最大值。因此信道容量的功率约束可以通过以下公式给出：

${\displaystyle C=\max _{f(x){\text{ s.t. }}E\left(X^{2}\right)\leq P}I(X;Y)\,\!}$

这里，${\displaystyle f(x)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的分布。${\displaystyle I(X;Y)}$ 可以扩展为微分熵的形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)=h(Y)-h(Y|X)&=h(Y)-h(X+Z|X)&=h(Y)-h(Z|X)\end{aligned}}\,\!}$

但是 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Z}$ 是独立的，因此：

${\displaystyle I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!}$

通过计算高斯微分熵可给出：

${\displaystyle h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}$

因为 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Z}$ 是独立的并且它们的和给出了 ${\displaystyle Y}$：

${\displaystyle E(Y^{2})=E(X+Z)^{2}=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})=P+N\,\!}$

从此约束中，我们可以从微分熵的属性中推断出：

${\displaystyle h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!}$

因此通道容量可以通过可变信息中的最高可获取约束求得：

${\displaystyle I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}$

其中 ${\displaystyle I(X;Y)}$ 在

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!}$

时最大。

因此 AWGN 的信道容量 ${\displaystyle C}$可以由此给出：

${\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}$

Zero-Crossings of a Noisy Cosine

在串行数据通信中，AWGN 数学模型被用来对由随机抖动引发的时间性错误建模。

右图中展示了和 AWGN 关联的时间性错误。变量 ${\displaystyle \Delta t}$ 表示零点交叉处的不确定性。当 AWGN 中的振幅被提升时，信噪比降低。这导致不确定性 ${\displaystyle \Delta t}$ 降低。

当受 AWGN 影响时。当输入是一个正弦波时，窄通频带滤波输出中的每一秒，不管是正向趋近于零点交叉还是负趋向于零点交叉的平均数都是：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {positive\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}={\frac {\mathrm {negative\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}}$

${\displaystyle =f_{0}{\sqrt {\frac {\mathrm {SNR} +1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{\mathrm {SNR} +1}}}}$

其中

• f₀ = 滤波的中心频率
• B = 滤波器带宽
• SNR = 线性关系上的信噪功率比

在现代通信系统中，带宽受限的AWGN(加性高斯白噪声)不容忽视。统计分析表明，对相量域中带宽受限的AWGN调制时，实部和虚部的振幅是遵循高斯分布模型的相互独立的变量。组合后，所产生的相量是符合瑞利分布的随机变量，而其相位从0到2π均匀分布。

• 接地反弹
• 有噪信道编码定理
• 高斯过程