辐角

复数辐角的直观示意图

设有非零复数${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$，记作${\displaystyle z=x+yi}$，其中的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$为实数，那么复数${\displaystyle z}$的辐角${\displaystyle \varphi }$指的是使下列等式：

${\displaystyle z=x+yi={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

成立的任何实数${\displaystyle \varphi }$。直观上来说，假设非零复数${\displaystyle z}$在复平面${\displaystyle O_{xy}}$中对应的向量是${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$（右图蓝色向量），那么它的辐角是所有能够描述正实数轴到${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出，相差${\displaystyle 2\pi }$的倍数的角都可以是辐角。这个性质也可以从三角函数${\displaystyle \cos }$和${\displaystyle \sin }$是以${\displaystyle 2\pi }$为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有辐角，复数${\displaystyle 0}$的辐角是没有定义的。

同一个复数的辐角有无穷多个，以集合表示为${\displaystyle \{\varphi +2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}}$，而对于所有${\displaystyle \varphi _{k}=\varphi +2k\pi }$，${\displaystyle \cos \varphi _{k}+i\sin \varphi _{k}}$都相同，所以实际只需要以其中一个辐角为代表，此辐角称为辐角主值或主辐角，记作${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}$。一般约定使用区间${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$中的值作为辐角主值（也有另一种常见的约定是以区间${\displaystyle [0,2\pi )}$中的值作为辐角主值）。如果复数的辐角主值是${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}$，那么它的所有辐角值就是：

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2k\pi \,|\,k\in \mathbb {Z} \}}$

给定一个形如${\displaystyle z=x+yi}$的非零复数，辐角主值${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}$是将它映射到区间${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$中的函数。辐角主值函数可以用反三角函数来描述：

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y>0\\-\arccos {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&y<0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}}$

或者配合半角公式：

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+yi)={\begin{cases}2\arctan {\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}&y\neq 0\\0&x>0\land y=0\\\pi &x<0\land y=0\\\end{cases}}}$

复数${\displaystyle z}$的一个辐角${\displaystyle \varphi \in \arg(z)}$和绝对值${\displaystyle |z|}$可以用来组成复数的极坐标形式：

${\displaystyle z=|z|e^{i\varphi }}$。

在极坐标形式下计算，可以得到复数乘积和商的辐角的规律：

${\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}$

于是对复数幂次的辐角也有：

${\displaystyle \operatorname {Arg} (z^{n})=n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}$

复数的共轭的辐角则满足：

${\displaystyle \operatorname {Arg} ({\overline {z}})=-\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}}$