BCH码

Peterson 算法是普通 BCH 解码过程的第二步，在这里使用 Peterson 算法计算多项式 ${\displaystyle \Lambda (x)=1+\lambda _{1}X+\lambda _{2}X^{2}+...+\lambda _{2t}X^{2t}}$ 的错误定位多项式系数 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}...\lambda _{2t}}$

这样给定 BCH 码 ${\displaystyle (n,k,d_{min})}$，可以校正 ${\displaystyle [t={\frac {d_{min}-1}{2}}]}$ 个错误的 Peterson Gorenstein Zierler 算法就是

• 首先生成 ${\displaystyle 2t}$ 伴随矩阵
• 然后生成元素为

${\displaystyle S_{t\times t}={\begin{bmatrix}s_{1}&s_{2}&s_{3}&...&s_{t}\\s_{2}&s_{3}&s_{4}&...&s_{t+1}\\s_{3}&s_{4}&s_{5}&...&s_{t+2}\\...&...&...&...&...\\s_{t}&s_{t+1}&s_{t+2}&...&s_{2t-1}\end{bmatrix}}}$ 的矩阵 ${\displaystyle S_{txt}}$

• 生成元素为

${\displaystyle C_{t\times 1}={\begin{bmatrix}s_{t+1}\\s_{t+2}\\...\\...\\s_{2t}\end{bmatrix}}}$ 的矩阵 ${\displaystyle c_{tx1}}$

• 让 ${\displaystyle \Lambda }$ 表示未知的多项式系数，用

${\displaystyle \Lambda _{t\times 1}={\begin{bmatrix}\lambda _{t}\\\lambda _{t-1}\\...\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{bmatrix}}}$ 表示

• 这样就得到矩阵方程

${\displaystyle S_{t\times t}\Lambda _{t\times 1}=C_{t\times 1}}$

• 如果矩阵 ${\displaystyle S_{t\times t}}$ 存在行列式，那么我们就可以找到这个矩阵的逆，然后就可以得到 ${\displaystyle \Lambda }$ 的值

• 如果 ${\displaystyle det(S_{t\times t})=0}$，那么按照

       if ${\displaystyle t=0}$
       then
             declare an empty error locator polynomial
             stop Peterson procedure.
       end
       set ${\displaystyle t\leftarrow t-1}$
       continue from the beginning of Peterson's decoding

• 在 ${\displaystyle \Lambda }$ 的值确定之后，自然就得到错误定位多项式
• 结束 Peterson procedure。