ElGamal加密算法

密钥生成的步骤如下：

• Alice利用生成元${\displaystyle g}$产生一个${\displaystyle q\,}$阶循环群${\displaystyle G\,}$的有效描述。该循环群需要满足一定的安全性质。
• Alice从${\displaystyle \{1,\ldots ,q-1\}}$中随机选择一个${\displaystyle x}$。
• Alice计算${\displaystyle h:=g^{x}}$。
• Alice公开${\displaystyle h\,}$以及${\displaystyle G,q,g\,}$的描述作为其公钥，并保留${\displaystyle x}$作为其私钥。私钥必须保密。

使用Alice的公钥${\displaystyle (G,q,g,h)}$向她加密一条消息${\displaystyle m}$的加密算法工作方式如下：

• Bob从${\displaystyle \{1,\ldots ,q-1\}}$随机选择一个${\displaystyle y}$，然后计算${\displaystyle c_{1}:=g^{y}}$。
• Bob计算共享秘密${\displaystyle s:=h^{y}}$。
• Bob把他要发送的秘密消息${\displaystyle m}$映射为${\displaystyle G}$上的一个元素${\displaystyle m'}$。
• Bob计算${\displaystyle c_{2}:=m'\cdot s}$。
• Bob将密文${\displaystyle (c_{1},c_{2})=(g^{y},m'\cdot h^{y})=(g^{y},m'\cdot (g^{x})^{y})}$发送给Alice。

值得注意的是，如果一个人知道了${\displaystyle m'}$，那么它很容易就能知道${\displaystyle h^{y}}$的值。因此对每一条信息都产生一个新的${\displaystyle y}$可以提高安全性。所以${\displaystyle y}$也被称作临时密钥。

利用私钥${\displaystyle x}$对密文${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$进行解密的算法工作方式如下：

• Alice计算共享秘密${\displaystyle s:=c_{1}{}^{x}}$
• 然后计算${\displaystyle m':=c_{2}\cdot s^{-1}}$，并将其映射回明文${\displaystyle m}$，其中${\displaystyle s^{-1}}$是${\displaystyle s}$在群${\displaystyle G}$上的逆元。（例如：如果${\displaystyle G}$是整数模n乘法群的一个子群，那么逆元就是模逆元）。

解密算法是能够正确解密出明文的，因为

${\displaystyle c_{2}\cdot s^{-1}=m'\cdot h^{y}\cdot (g^{xy})^{-1}=m'\cdot g^{xy}\cdot g^{-xy}=m'.}$

ElGamal加密系统通常应用在混合加密系统中。例如：用对称加密体制来加密消息，然后利用ElGamal加密算法传递密钥。这是因为在同等安全等级下，ElGamal加密算法作为一种非对称密码学系统，通常比对称加密体制要慢。对称加密算法的密钥和要传递的消息相比通常要短得多，所以相比之下使用ElGamal加密密钥然后用对称加密来加密任意长度的消息，这样要更快一些。