H树

在分形几何中，H树（英語：）是一种分形树结构，由互相垂直的线段构成，其中任意一条线段的长度都是次一级线段的 ${\sqrt {2}}$ 倍。它因类似于字母“H”的重复图案而得名。它的豪斯多夫维数为2，能任意接近矩形中的每一点。其应用包括超大规模集成电路设计和微波工程。

H树的前十层

构造

H树可从任意长度的线段开始构造，首先在该线段的两个端点作出两条垂线，如此反复，同时将每级绘制的线段长度缩短 ${\sqrt {2}}$ 倍。[1]

另一种生成相同分形集的方法是从一个边长比为1: ${\sqrt {2}}$ 的矩形（称为“银矩形”）开始，将其重复平分为两个较小的银矩形，每级中用线段连接两个较小矩形的几何中心。可以在其他任意形状的矩形中进行类似的过程，但在银矩形中，每级线段长度以 ${\sqrt {2}}$ 倍均匀减小，而对于其他矩形，长度会以奇偶交替的方式以不同的倍率减小。

性质

H树是自相似的分形；其豪斯多夫维数为2。[2]

H树的节点能任意接近矩形中的每一点（划分出的矩形的质心对于用于构建的原矩形也一样）。然而，其并不包括矩形内的所有点，如初始线段的垂直平分线。

应用

在超大规模集成电路的设计中，H树可以作为完全二叉树布局，其总使用面积与树节点的数目成正比[3]。此外在图表绘制中，H树布局能节省空间[4]，可作为点集结构的一部分[5]。

它通常用于时钟分配网络，以将时钟信号路由至芯片各处，而传播延迟相同[6]，还用作VLSI多处理器中的互连网络[7]。出于同样的原因，H树还用于微带天线阵列的排布上，以使每个独立的微带天线获得的无线信号有相等的传播延迟。

平面H树可以经由在H树平面垂直方向添加线段而推广到三维结构[8]。所得三维H树的豪斯多夫维数为3。已经发现光子晶体和超材料中的人造电磁原子构成了平面及立体H树的结构，还可能在微波工程中有潜在应用[8]。

有关分形集

H树是分形冠的一个例子，其中相邻线段所成角始终为180度。就其能任意接近边界矩形中每个点的性质而言，它又像是一条空间填充曲线，虽然它本身并不是一条曲线。

拓扑学上，H树有类似于树枝状的性质。但它并不是枝状的：枝状必须为闭集，而H树未封闭（其闭包为整个矩形）。

曼德尔布罗树是一个与之密切相关的分形，它使用矩形而不是线段，且与H树的位置略有偏差，以使外观更自然。为了抵偿部件宽度的增加，避免自重叠，每级部件的缩小倍数必须比 ${\sqrt {2}}$ 稍大。[9]

注

H-Fractal （页面存档备份，存于）, Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
Kaloshin & Saprykina (2012).
Leiserson (1980).
Nguyen & Huang (2002).
Bern & Eppstein (1993).
Ullman (1984); Burkis (1991).
Browning (1980). See especially Figure 1.1.5, page 15.
Hou 等人 (2008); Wen 等人 (2002).
Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

参考

Bern, Marshall; Eppstein, David, , (PDF), Association for Computing Machinery: 183–188, 1993 [2014-12-28], doi:10.1145/160985.161018, （原始内容存档 (PDF)于2015-07-03）.
Browning, Sally A., , Ph.D. thesis, California Institute of Technology, 1980 [2014-12-28], （原始内容存档于2012-07-16）.
Burkis, J., , : 9.8.1–9.8.4, 1991, doi:10.1109/ASIC.1991.242921.
Hou, Bo; Xie, Hang; Wen, Weijia; Sheng, Ping, , Physical Review B, 2008, 77: 125113, doi:10.1103/PhysRevB.77.125113.
Kaloshin, Vadim; Saprykina, Maria, , Communications in Mathematical Physics, 2012, 315 (3): 643–697, MR 2981810, doi:10.1007/s00220-012-1532-x.
Leiserson, Charles E., , : 270–281, 1980, doi:10.1109/SFCS.1980.13.
Nguyen, Quang Vinh; Huang, Mao Lin, , : 85–92, 2002, doi:10.1109/INFVIS.2002.1173152.
Ullman, Jeffrey D., , Computer Science Press, 1984.
Wen, Weijia; Zhou, Lei; Li, Jensen; Ge, Weikun; Chan, C. T.; Sheng, Ping, 89, Physical Review Letters: 223901, 2002, doi:10.1103/PhysRevLett.89.223901.

扩展阅读

Kabai, S., , Püspökladány, Hungary: Uniconstant: 231, 2002.
Lauwerier, H., , Princeton, NJ: Princeton University Press: 1–2, 1991.

外部链接

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[1] H-Fractal （页面存档备份，存于）, Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.

[FOOTNOTEKaloshinSaprykina2012-2] Kaloshin & Saprykina (2012).

[FOOTNOTELeiserson1980-3] Leiserson (1980).

[FOOTNOTENguyenHuang2002-4] Nguyen & Huang (2002).

[FOOTNOTEBernEppstein1993-5] Bern & Eppstein (1993).

[6] Ullman (1984); Burkis (1991).

[7] Browning (1980). See especially Figure 1.1.5, page 15.

[Hou&Wen-8] Hou 等人 (2008); Wen 等人 (2002).

[9] Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.