HOMFLY多項式

HOMFLY多項式 ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P(K)}$ 由下述拆接關係唯一地定義：

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

其中unknot是平凡纽结； ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出

${\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}$

透過適當的變元代換，上節的拆接關係可換為

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}$

或者

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}$

與瓊斯多項式的關係：

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

與亞歷山大多項式的關係：

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}$

對鏡像與連通和的關係：

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}$

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。[1]

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4