Hautus引理

Hautus引理（Hautus lemma）是在控制理论以及狀態空間下分析线性时不变系统時，相當好用的工具，得名自Malo Hautus[1]，最早出現在1968年的《Classical Control Theory》及1973年的《Hyperstability of Control Systems》中 [2][3]，現今在許多的控制教科書上可以看到此引理。

主要結果

有許多有關引理的不同型式。

可控制性Hautus引理

可控制性Hautus引理提到若給定一方陣 $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ 及 $\mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )$ ，以下幾個式子等效：

$(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ 對具有可控制性
針對所有的 $\lambda \in \mathbb {C}$ ，下式都成立 $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$
針對所有 $\mathbf {A}$ 的特徵值 $\lambda \in \mathbb {C}$ ，下式都成立 $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$

可穩定性Hautus引理

可穩定性Hautus引理提到若給定一方陣 $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ 及 $\mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )$ ，以下幾個式子等效：

$(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ 對具有可穩定性
針對所有 $\mathbf {A}$ 的特徵值 $\lambda \in \mathbb {C}$ ，而且滿足 $\Re (\lambda )\geq 0$ ，下式都成立 $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$

可偵測性Hautus引理

可偵測性Hautus引理提到若給定一方陣 $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ 及 $\mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )$ ，以下幾個式子等效：

$(\mathbf {A} ,\mathbf {C} )$ 對具有可偵測性
針對所有 $\mathbf {A}$ 的特徵值 $\lambda \in \mathbb {C}$ ，而且滿足 $\Re (\lambda )\geq 0$ ，下式都成立 $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]=n$

參考資料

. [2017-12-10]. （原始内容存档于2018-11-29）.
Belevitch, V. . San Francisco: Holden–Day. 1968.
Popov, V. M. . Berlin: Springer-Verlag. 1973: 320.

延伸閱讀

Sontag, Eduard D. . New York: Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5.
Zabczyk, Jerzy. . Boston: Birkhauser. 1995. ISBN 3-7643-3645-5.

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[1] . [2017-12-10]. （原始内容存档于2018-11-29）.

[2] Belevitch, V. . San Francisco: Holden–Day. 1968.

[3] Popov, V. M. . Berlin: Springer-Verlag. 1973: 320.