n维球面

对于任何自然数n，半径为r的n维球面定义为(n + 1)维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数r的所有点的集合，其中r可以是任何正的实数。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地：

• 0维球面是直线上的两个点{p − r, p + r}；
• 1维球面是平面上的圆；
• 2维球面是三维空间内的普通球面；
• 3维球面是四维空间内的球面。

${\displaystyle (n-1)}$维球面所包围的体积（${\displaystyle n}$维球体的体积）由以下公式给出：

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}}$,

其中${\displaystyle \Gamma }$是伽玛函数。对于偶数${\displaystyle n}$，${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!}$；对于奇数${\displaystyle n}$，${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}$，其中${\displaystyle n!!}$表示双阶乘。

由此可以推出，对于给定的${\displaystyle n}$，常数${\displaystyle C_{n}}$的值为：

${\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}$（对于偶数n=2k），

${\displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}}$（对于奇数n=2k+1）。

这个(n-1)维球面的表面积是：

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}}$

n维球面的表面积和体积之间有以下的关系：

${\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n\,}$

${\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,}$

从此可以推导出递推关系：

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,}$

这些公式也可以直接从n维球坐标系中的积分推出（Stewart 2006，p.881）。

我们可以定义n维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系类似，由径向坐标${\displaystyle \ r}$和${\displaystyle \ n-1}$个角度坐标${\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}$组成。如果${\displaystyle \ x_{i}}$是笛卡儿坐标系，那么我们可以定义：

${\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,}$

${\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,}$

${\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,}$

${\displaystyle \cdots \,}$

${\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,}$

${\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,}$

从中可以推出逆变换的公式：

${\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}$

${\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}$

${\displaystyle \cdots \,}$

${\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}$

注意最后一个角${\displaystyle \phi _{n-1}}$的值域为${\displaystyle 2\pi }$，而其它角的值域为${\displaystyle \pi }$。这个值域覆盖了整个球面。

n维空间内的体积元素可以从变换的雅可比行列式得出：

${\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}$

${\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}$

以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：

${\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,}$

(n-1)–维球面的体积元素是2维球面的面积元素的推广，由以下公式给出：

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}$

就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点${\displaystyle \ [x,y,z]}$映射到${\displaystyle \ xy}$平面上的点${\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}$。也就是说：

${\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

类似地，半径为1的n维球面${\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}}$的球极平面投影映射到垂直于${\displaystyle \ x_{n}}$轴的n-1维超平面${\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}}$：

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

• 共形几何
• 同调球面
• 球的同伦群
• 同伦球
• 双曲群
• 超正方体
• 反演几何
• 正交群
• 莫比乌斯变换

• Flanders, Harley, , New York: Dover Publications, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G., , Prentice Hall, 1996 [2008-09-13], ISBN 978-0-13-373770-7, （原始内容存档于2008-07-04）（第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
• Weeks, Jeffrey R., , Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0（第14章：The Hypersphere）
• Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
• Stewart, James, 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006.

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• 科学空间：求n维球的体积（页面存档备份，存于）