Proca 作用量

该场中包含一个复合的电磁四矢势 ${\displaystyle B^{\mu }=({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} )}$， ${\displaystyle \phi }$ 是一类广义電勢，${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是一个广义 磁矢势，在该场中${\displaystyle B^{\mu }}$变换与一个复四矢量相同。

用 拉格朗日密度 给出：[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

其中 ${\displaystyle c}$ 是 光速， ${\displaystyle \hbar }$是 普朗克常数 以及 ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ 是 四维梯度.

这样的欧拉-拉格朗日方程 又被称为 Proca方程：

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

如果应用广义洛伦茨规范

${\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}$

则上式又可以写为[3]

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

当 ${\displaystyle m=0}$, 这个方程可以退化到无电流无电荷的 麦克斯韦方程組。Proca方程与克莱因-戈尔登方程密切相关，因为它们都是关于空间和时间的二阶偏微分方程的。

用矢量分析的符号给出，该公式是：

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}$

${\displaystyle \Box }$ 即是 达朗贝尔算符

Proca作用量可以通过在Stuecklberg作用量中引入 希格斯机制 后通过规范变换得到。可以使用第二类约束条件得到量子化的Proca作用量。

电磁场的Proca作用量在${\displaystyle m\neq 0}$时不具有规范不变性

${\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

这里的 ${\displaystyle f}$ 是一个任意函数。

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