司徒頓t檢定

檢驗虛無假說為一群來自常態分配獨立樣本x_i之母體期望值μ為μ₀可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$為樣本平均數，${\displaystyle s={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}}$為樣本標準差，n為樣本數。該統計量t在虛無假說：μ = μ₀為真的條件下服從自由度為n − 1的t分佈。

配對樣本t檢驗可視為單樣本t檢驗的擴展，不過檢驗的對象由一群來自常態分配獨立樣本更改為兩配對樣本之觀測值之差。

若兩配對樣本x_1i與x_2i之差為d_i = x_1i − x_2i獨立且來自常態分配，則d_i之母體期望值μ是否為μ₀可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {d}}-\mu _{0}}{s_{d}/{\sqrt {n}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {d}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}}{n}}}$為配對樣本差值之平均數，${\displaystyle s_{d}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-{\overline {d}})^{2}}{n-1}}}}$為配對樣本差值之標準差，n為配對樣本數。該統計量t在虛無假說：μ = μ₀為真的條件下服從自由度為n − 1的t分布。

若兩獨立樣本x_1i與x_2i具有相同之樣本數n，且來自兩個母體變異數相同（同質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值差μ₁ - μ₂是否為μ₀可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {2s_{p}^{2}/n}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n}x_{1i})/n}$及${\displaystyle {\overline {x}}_{2}=(\sum _{i=1}^{n}x_{2i})/n}$為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{p}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{2i}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(2n-2)}$為樣本之共同方差。該統計量t在虛無假說：μ₁ - μ₂ = μ₀為真的條件下服從自由度為2n − 2的t分佈。

若兩獨立樣本x_1i與x_2j具有不相同之樣本數n₁與n₂，且來自兩個母體變異數相同（同質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值之差μ₁ - μ₂是否為μ₀可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {s_{p}^{2}/n_{1}+s_{p}^{2}/n_{2}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n_{1}}$，其中${\displaystyle j=1\ldots n_{2}}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n}x_{1i})/n}$及${\displaystyle {\overline {x}}_{2}=(\sum _{i=1}^{n}x_{2i})/n}$為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{p}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(n_{1}+n_{2}-2)}$為兩樣本共同之方差。該統計量t在虛無假說：μ₁ - μ₂ = μ₀為真的條件下服從自由度為n₁ + n₂ − 2的t分佈。

若兩獨立樣本x_1i與x_2j具有相同或不相同之樣本數n₁與n₂，且兩者母體變異數不相等（異質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值之差μ₁ - μ₂是否為μ₀可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n_{1}}$，其中${\displaystyle j=1\ldots n_{2}}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n_{1}}x_{1i})/n_{1}}$及${\displaystyle {\overline {x}}_{2}=(\sum _{j=1}^{n_{2}}x_{2j})/n}$為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{1}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2})/(n_{1}-1)}$及${\displaystyle s_{2}^{2}=(\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(n_{2}-1)}$分別為兩樣本之方差。該統計量t在虛無假說：μ₁ - μ₂ = μ₀為真的條件下服從自由度為

${\displaystyle df={\frac {(s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}/(n_{1}-1)+(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}/(n_{2}-1)}}}$

之t分布。這種方法又常稱為Welch檢驗。

模型假設：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i},}$

其中x_i，i = 1, ..., n為已知，α與β為未知係數，ε_i為殘差獨立且服從期望值0且方差σ²未知的常態分佈，y_i，i = 1, ..., n為觀測值。我們可以檢驗迴歸係數β是否相等於特定的β₀，通常使β₀ = 0以檢定x_i對y_i是否存在解釋能力，在此例（簡單線性迴歸模型）即為檢定迴歸式之斜率是否為零。

令${\displaystyle {\widehat {\alpha }}}$與${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$為最小平方法之估計值，${\displaystyle SE_{\widehat {\alpha }}}$與${\displaystyle SE_{\widehat {\beta }}}$為最小平方法估計值之標準誤差，則

${\displaystyle t={\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\widehat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

在虛無假說為β = β₀的情況下服從自由度為n − 2之t分布，此檢定統計量被稱作「t比率 (t-ratio)」，其中

${\displaystyle SE_{\widehat {\beta }}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\widehat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}$

由於 ${\displaystyle {\widehat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\widehat {y}}_{i}=y_{i}-({\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}x_{i})}$為殘差（即估計誤差），而 ${\displaystyle {\text{SSR}}=\sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{i}^{\;2}}$ 為殘差之離均平方和，我們可改寫t為

${\displaystyle t={\frac {({\widehat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {{\text{SSR}}/\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}}}$

另请参阅：F检验