双射

一函數${\displaystyle f}$為雙射的若且唯若其逆關係${\displaystyle f^{-1}}$也是個函數。在這情況，${\displaystyle f^{-1}}$也會是雙射函數。

兩個雙射函數${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$的複合函數${\displaystyle g\circ f}$亦為雙射函數。其反函數為${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$。

一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$為雙射的，可知${\displaystyle f}$是單射的且${\displaystyle g}$是滿射的，但也僅限於此。

一由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的關係${\displaystyle f}$為雙射函數若且唯若存在另一由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的關係${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle g\circ f}$為${\displaystyle X}$上的恆等函數，且${\displaystyle f\circ g}$為${\displaystyle Y}$上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

• 對任一集合${\displaystyle X}$，其恆等函數為雙射函數。
• 函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式為${\displaystyle f(x)=2x+1}$，是雙射的，因為對任一${\displaystyle y}$，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$使得${\displaystyle f(x)=y}$。
• 指數函數${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式為${\displaystyle g(x)=e^{x}}$，不是雙射的：因為不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$內的${\displaystyle x}$使得${\displaystyle g(x)=-1}$，故${\displaystyle g}$非為雙射。但若其陪域改成正實數${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$，則${\displaystyle g}$便是雙射的了；其反函數為自然對數函數${\displaystyle \ln }$。
• 函數${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$，其形式為${\displaystyle h(x)=x^{2}}$，不是雙射的：因為${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$，故${\displaystyle h}$非為雙射。但如果把定義域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$，則${\displaystyle h}$便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$不是雙射函數，因為${\displaystyle -1,0}$和${\displaystyle 1}$都在其定義域裡且都映射至${\displaystyle 0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$不是雙射函數，因為${\displaystyle \pi /3}$和2${\displaystyle \pi /3}$都在其定義域裡且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$。

• 一由實數${\displaystyle \mathbb {R} }$至${\displaystyle \mathbb {R} }$的函數${\displaystyle f}$是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設${\displaystyle X}$為一集合，則由${\displaystyle X}$至其本身的雙射函數，加上其複合函數「${\displaystyle \circ }$」的運算，會形成一個群，即為${\displaystyle X}$的對稱群，其標記為${\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)}$、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$或${\displaystyle X!}$。
• 取一定義域的子集${\displaystyle A}$及一陪域的子集${\displaystyle B}$，則

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$。

• 若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為具相同勢的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$，則下列三種說法是等價的：

1. ${\displaystyle f}$為一雙射函數。
2. ${\displaystyle f}$為一滿射函數。
3. ${\displaystyle f}$為一單射函數。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如${\displaystyle y=x^{-3}}$）。

形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

• 等势
• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 满射
• 雙射計數法
• 水平线测试

维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于）