光滑函数

构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的；另一方面来讲，一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟；所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。

要给出这样的函数的显式构造，我们从构造如下的函数开始

${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)}$，

开始先对${\displaystyle x>0}$定义。我们不但有

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)\to 0}$（从上式可以得到）

而且对于所有多项式${\displaystyle P}$,有

${\displaystyle \lim _{x\to 0}P(x)f(x)\to 0}$

因为负指数的指数增长起支配作用。这意味着对于${\displaystyle x<0}$设定${\displaystyle f(x)=0}$将给出一个光滑函数。像${\displaystyle f(x)f(1-x)}$这样的组合可以以任何给定区间为支撑构成；在这个特例中，该区间是${\displaystyle [0,1]}$。这样的函数从${\displaystyle 0}$开始有特别慢的‘启动’。

参看非解析無窮可微函數。

用复分析的术语考虑，如下的函数

${\displaystyle g(z)=\exp(-{\frac {1}{z^{2}}})}$

对于${\displaystyle z}$取任何实数值是光滑的，但在${\displaystyle z=0}$有一个本质奇点。也就是，在${\displaystyle z=0}$附近的行为不好；但恰巧只看实参数时无法让我们发现这一点。

给定闭支撑的光滑函数用于构造光滑单位分解（参看拓扑学术语单位分解条目）；这在光滑流形的研究中有基本的作用，例如在证明黎曼度量可以从他们的局部存在性全局的定义时。一个简单的情形是实直线上的一个突起函数，一个光滑函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$外为${\displaystyle 0}$，并且使得

${\displaystyle f(x)>0}$ for ${\displaystyle a<x<b}$.

给定一些直线上的互相重叠的区间，可以在每个区间上构造突起函数，在半无限区间（${\displaystyle -\infty ,c]}$和${\displaystyle [d,+\infty }$）上也可以，以覆盖整条直线，使得函数的和总是${\displaystyle 1}$。

根据前面所说，单位分解不适用于全纯函数；它们的对于存在性和解析连续的不同行为是层论的根源之一。作为对比，光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。

光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数，定义在切向量上；它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。

在需要讨论所有无穷可微函数的集合时，以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时，人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择，因为它在这些操作下不是完备和闭合的。对于这个情况的一个正确处理，我们可以采用索伯列夫空间（Sobolev space）的概念。

• 准解析函数
• 分段光滑函数