分子运动论

在氣體動力論中，壓力是以氣體對某個平面撞擊所造成的力解釋，假設一個邊長為 ${\displaystyle l}$ 的正立方體，一顆質量為 ${\displaystyle m}$ 的粒子以速率 ${\displaystyle v}$ 在完全彈性碰撞的情況下，沿 X 軸撞擊其中一面的動量變化為：

${\displaystyle \Delta P=mv_{x}-(-mv_{x})=2mv_{x}}$

此粒子每隔 ${\displaystyle {\frac {2l}{v_{x}}}}$ 便撞擊該面一次，因此該面所受到的力量為：

${\displaystyle F_{x}={\frac {\Delta P}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}}{\frac {2l}{v_{x}}}}={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}}$

在一共有 n 個相同粒子的狀況下，該面所受到的總力為：

${\displaystyle F_{x}={\frac {mv_{x1}^{2}+mv_{x2}^{2}+mv_{x3}^{2}+\cdots +mv_{xn}^{2}}{l}}={\frac {m(\sum _{k=1}^{n}v_{xk}^{2})}{l}}}$

定義：

${\displaystyle {\bar {v_{x}^{2}}}\equiv {\frac {\sum v_{xn}^{2}}{n}}}$，${\displaystyle F_{x}={\frac {mn{\bar {v_{x}^{2}}}}{l}}}$

用相同的方式也可以得到：

${\displaystyle F_{y}={\frac {mn{\bar {v_{y}^{2}}}}{l}}}$，${\displaystyle F_{z}={\frac {mn{\bar {v_{z}^{2}}}}{l}}}$

${\displaystyle {\bar {v^{2}}}={\bar {v_{x}^{2}}}+{\bar {v_{y}^{2}}}+{\bar {v_{z}^{2}}}}$

因為大量氣體粒子的運動可以視為無規則的運動，因此大量氣體粒子向每一方向的速率分布情形皆相同，所以：

${\displaystyle {\bar {v_{x}^{2}}}={\bar {v_{y}^{2}}}={\bar {v_{z}^{2}}}}$，${\displaystyle {\bar {v^{2}}}=3{\bar {v_{x}^{2}}}}$

每個面所受到的壓强為：

${\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {mn{\frac {\bar {v^{2}}}{3}}}{l^{3}}}={\frac {mn{\bar {v^{2}}}}{3l^{3}}}={\frac {mn{\bar {v^{2}}}}{3V}}}$

${\displaystyle PV={\frac {nm{\bar {v^{2}}}}{3}}={\frac {2n\cdot {\frac {m{\bar {v^{2}}}}{2}}}{3}}={\frac {2n{\bar {E}}}{3}}}$

以方均根${\displaystyle v_{rms}}$表示其中的 ${\displaystyle {\bar {v_{x}^{2}}}}$亦可得：

${\displaystyle PV={\frac {nmv_{rms}^{2}}{3}}}$

这是分子动理论的第一个非平庸的结果，它把宏观量压强与微观量粒子的平均动能联系起来。

根據理想氣體方程式（${\displaystyle PV=Nk_{B}T}$，${\displaystyle k_{B}}$為波茲曼常數，${\displaystyle T}$為絕對溫度，粒子数N=n）：

${\displaystyle PV=Nk_{B}T={\frac {nm{\overline {v^{2}}}}{3}}\Rightarrow 3k_{B}T=m{\overline {v^{2}}}}$

于是可得单个分子的动能为：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{B}T}$

故系統的總动能${\displaystyle K}$可表示為：

${\displaystyle K=N\cdot {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}Nk_{B}T}$

${\displaystyle {\frac {2}{3}}K=Nk_{B}T}$

这是分子动理论中的一个重要结果：分子的平均动能正比于体系的绝对温度。

${\displaystyle PV=Nk_{B}T={\frac {2}{3}}K}$

因此，压强与摩尔体积之积与分子平均平动动能成正比。 对于由${\displaystyle N}$个单原子分子组成的气体体系，自由度总数为${\displaystyle 3N}$，因此每个自由度的动能是

${\displaystyle {\frac {K}{3N}}={\frac {k_{B}T}{2}}}$

每个自由度的动能正比于温度，比例系数为波尔兹曼常数的一半，这个结果叫做能量均分定理。

对于理想气体，可以推导出n[8] 单位时间内分子对容器单位面积的碰撞次数为

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\frac {N}{V}}v_{avg}={\frac {n}{4}}{\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}.\,}$

所有分子速率平方的平均值的平方根

${\displaystyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\frac {3RT}{\text{M}}}}}$

其中 ${\displaystyle v}$ 為米/秒 (m/s)，R是理想氣體常數，M 為莫耳質量（千克/莫耳 (kg/mol)）。其中最有可能的速度為均方根速率的81.6%，而平均速度為均方根速率的92.1%。（麦克斯韦-玻尔兹曼分布）