正定矩阵

一个 ${\displaystyle n\times n}$ 的实对称矩阵 ${\displaystyle M}$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$，都有 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0}$。其中 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}}$表示 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 ${\displaystyle n\times n}$ 的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$ 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$，都有 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$。其中 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$表示 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ 的共轭转置。

這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 ${\displaystyle M}$ 及複向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ，${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ 必定是实数。

对於 ${\displaystyle n\times n}$ 的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$，下列性质与「${\displaystyle M}$ 为正定矩阵」等价：

1. ${\displaystyle M}$ 的所有的特征值 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ 都是正的。
   根据谱定理，${\displaystyle M}$ 与一个实对角矩阵 ${\displaystyle D}$ 相似（也就是说 ${\displaystyle M=U^{-1}DU}$，其中 ${\displaystyle U}$ 是酉矩阵，或者说 ${\displaystyle M}$ 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，${\displaystyle M}$是正定阵当且仅当相应的 ${\displaystyle D}$ 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假設 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 ${\displaystyle M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$，從左側同乘以 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}$ 得到：${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}$。因為 ${\displaystyle M}$ 是正定矩陣，根據定義我們有 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0}$。移項整理後可以得到 ${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0}$。注意因為特徵向量 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0} }$，所以前述 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ 不會有無解的情形。
2. 半双线性形式 ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$ 定义了一个 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的内积。实际上，所有 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
3. ${\displaystyle M}$ 是向量 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$ 構成的格拉姆矩阵，其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$。更精确地说，${\displaystyle M=[m_{ij}]}$ 定义为：${\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}$。换句话说，${\displaystyle M}$ 具有 ${\displaystyle A^{*}A}$ 的形式，其中 ${\displaystyle A}$ 不一定是方阵，但必須是单射的。
4. ${\displaystyle M}$ 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确地说，就是考察 ${\displaystyle M}$ 左上角大小 ${\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n}$ 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}$$

   
5. 存在唯一的下三角矩阵 ${\displaystyle L}$，其主对角线上的元素全是正的，使得 ${\displaystyle M=LL^{*}}$。其中 ${\displaystyle L^{*}}$是 ${\displaystyle L}$ 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$改为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，並将「共轭转置」改为「转置」即可。

与正定矩阵对应，一个 ${\displaystyle n\times n}$ 的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$ 是负定矩阵（英語：）若且唯若对所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$（或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz<0\,}$。

${\displaystyle M}$是半正定矩阵（英語：）若且唯若對於所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$（或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz\geq 0}$。

${\displaystyle M}$是半负定矩阵（英語：）若且唯若對於所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$（或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz\leq 0}$。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英語：）。

可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 ${\displaystyle M}$ 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 ${\displaystyle A}$，${\displaystyle A^{*}A}$必是半正定的，并有 ${\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)}$（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 ${\displaystyle M=A^{*}A}$，这就是科列斯基分解。

一个埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$ 是负定矩阵若且唯若 ${\displaystyle M}$ 的所有奇数阶顺序主子式小于 ${\displaystyle 0}$，所有偶数阶顺序主子式大于 ${\displaystyle 0}$。当 ${\displaystyle M}$ 是负定矩阵时，${\displaystyle M}$ 的逆矩阵也是负定的。

若 ${\displaystyle M}$ 为半正定矩阵，可以記作 ${\displaystyle M\geq 0}$。如果${\displaystyle M}$是正定矩阵，可以記作 ${\displaystyle M>0}$。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$，${\displaystyle M\geq N}$ 若且唯若 ${\displaystyle M-N\geq 0}$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义${\displaystyle M>N}$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 ${\displaystyle M\geq N>0}$ 那么 ${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0}$。
2.	如果 ${\displaystyle M}$ 是正定阵，${\displaystyle r>0}$ 为正实数，那么 ${\displaystyle rM}$ 也是正定阵。 如果 ${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$ 是正定阵，那么 ${\displaystyle M+N}$、${\displaystyle MNM}$ 与 ${\displaystyle NMN}$ 都是正定的。如果 ${\displaystyle MN=NM}$，那么 ${\displaystyle MN}$ 仍是正定阵。
3.	如果 ${\displaystyle M=(m_{ij})>0}$ 那么主对角线上的元素 ${\displaystyle m_{ii}}$ 为正实数。于是有 ${\displaystyle {\text{tr}}(M)>0}$。此外还有 ${\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}}$ 。
4.	矩阵 ${\displaystyle M}$ 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 ${\displaystyle B>0}$ 使得 ${\displaystyle B^{2}=M}$。根据其唯一性可以记作 ${\displaystyle B=M^{1/2}}$，称 ${\displaystyle B}$ 为 ${\displaystyle M}$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 ${\displaystyle M>N>0}$ 那么 ${\displaystyle M^{1/2}>N^{1/2}>0}$ 。
5.	如果 ${\displaystyle M,N>0}$ 那么 ${\displaystyle M\otimes N>0}$，其中 ${\displaystyle \otimes }$ 表示克羅內克積。
6.	对矩阵 ${\displaystyle M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})}$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 ${\displaystyle M\circ N}$，即 ${\displaystyle (M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}}$，称为${\displaystyle M}$与${\displaystyle N}$的 阿达马乘积。如果 ${\displaystyle M,N>0}$，那么 ${\displaystyle M\circ N>0}$。如果 ${\displaystyle M,N}$ 为实係数矩阵，则以下不等式成立： ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}}$ 。
7.	设 ${\displaystyle M>0}$，${\displaystyle N}$ 为埃尔米特矩阵。如果 ${\displaystyle MN+NM\geq 0}$（相應地，${\displaystyle MN+NM>0}$），那么 ${\displaystyle N\geq 0}$（相應地，${\displaystyle N>0}$）。
8.	如果 ${\displaystyle M,N\geq 0}$ 为实系数矩阵，则 ${\displaystyle {\text{tr}}(MN)\geq 0}$。
9.	如果 ${\displaystyle M>0}$ 为实系数矩阵，那么存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使得 ${\displaystyle M\geq \delta I}$，其中 ${\displaystyle I}$ 为单位矩阵。

一个实矩阵 ${\displaystyle M}$ 可能满足對於所有的非零实向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$，${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}$，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$就满足这个条件。对於 ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$ 并且 ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$，${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0}$。

一般来说，一个实系数矩阵 ${\displaystyle M}$ 满足对所有非零实向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$，${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}$，若且唯若对称矩阵 ${\displaystyle (M+M^{T})/2}$ 是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$ 这一性质。要使得 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ 总为实数，矩阵 ${\displaystyle M}$ 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ 总是正实数，${\displaystyle M}$ 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$ 扩展为 ${\displaystyle \Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0}$，则等价于 ${\displaystyle (M+M^{*})/2}$ 为正定矩阵。

• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核
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• 科列斯基分解
• 线性矩阵不等式
• 合同矩阵

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

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• 关于对称矩阵的一些讨论