基爾霍夫電路定律

思考電路的某節點，跟這節點相連接有 ${\displaystyle n}$ 個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流 ${\displaystyle i}$ 等於流過支路 ${\displaystyle k}$ 的電流 ${\displaystyle i_{k}}$ 的代數和：

${\displaystyle i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}}$ 。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程式：

${\displaystyle q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}}$ ；

其中，${\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'}$ 是累積於這節點的總電荷，${\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'}$ 是流過支路 ${\displaystyle k}$ 的電荷，${\displaystyle t}$ 是檢驗時間，${\displaystyle t'}$ 是積分時間變數。

假設 ${\displaystyle q>0}$ ，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律， ${\displaystyle q}$ 是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，${\displaystyle q=0}$ 、${\displaystyle i=0}$ ，基爾霍夫電流定律成立：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}$ 。

從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 ${\displaystyle \mathbf {J} _{D}}$ 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於電路分析（）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取散度於馬克士威修正的安培定律，然後與高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流密度，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是電常數，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，${\displaystyle \rho }$ 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 ${\displaystyle Q}$ 的流失率：

${\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}}$ 。

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 ${\displaystyle \rho }$ ，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件（）的理論基礎，例如，SPICE或NI Multisim。

在靜電學裏，電勢定義為電場的負線積分：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ 是電勢，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，${\displaystyle \mathbb {L} }$ 是從參考位置到位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 的路徑，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ 是這路徑的微小線元素。

那麼，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：

${\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbb {C} }$ 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的磁通量為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

由於含時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 出現於閉合迴路 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。所以，電場沿著閉合迴路 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}}$ 。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。