审敛法

如果序列通项的极限不为零或无定义，即${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0}$，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

假设对任何的${\displaystyle n}$，${\displaystyle a_{n}>0}$。如果存在${\displaystyle r}$使得：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r}$

如果${\displaystyle r<1}$，那么级数绝对收敛。如果${\displaystyle r>1}$，那么级数发散。如果${\displaystyle r=1}$，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）${\displaystyle a_{n}>0}$。倘若其相邻项比值${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$可以被表示为：

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}}$

其中${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$都是常数，而${\displaystyle \theta _{n}}$是一个有界的序列，那么

• 当${\displaystyle \lambda >1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu >1}$时，级数收敛；
• 当${\displaystyle \lambda <1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1}$时，级数发散。

${\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

其中${\displaystyle \limsup }$表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果${\displaystyle r<1}$，级数绝对收敛。如果${\displaystyle r>1}$，级数发散。如果${\displaystyle r=1}$，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令${\displaystyle f(n)=a_{n}}$为一正项单调递减函数。如果：

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty }$

那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

如果${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n，有${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$，那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$也絕對收斂。

如果${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0}$，并且极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$存在非零，那么${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收敛当且仅当${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$收敛。

具有以下形式的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$。其中所有的${\displaystyle a_{n}}$非负，被称作交错级数。如果当${\displaystyle n}$趋于无穷时，数列${\displaystyle a_{n}}$的极限存在且等于${\displaystyle 0}$，并且每个${\displaystyle a_{n}}$小于或等于${\displaystyle a_{n-1}}$（即数列${\displaystyle a_{n}}$是单调递减的），那么级数收敛。如果${\displaystyle L}$是级数的和${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!}$那么部分和${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$逼近${\displaystyle L}$有截断误差${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$。

给定两个实数项数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{b_{n}\}}$，如果数列满足${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收敛，${\displaystyle \{b_{n}\}}$是单调且有界的，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$收敛。