峰度

母體峰態係數定義為：

${\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},\!}$

即四階標準矩，其中${\displaystyle \mu _{4}}$是四階主動差，${\displaystyle \sigma }$是標準差。

在更通常的情況下，峰度被定義為四階累積量除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以概率分布方差的平方再減去3：

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓正態分布的峰度為0。

假定${\displaystyle Y}$為${\displaystyle n}$個獨立變量之和，且這些變量和${\displaystyle X}$具有相同的分布，那麽：${\displaystyle \mathrm {Kurt} [Y]={\frac {\mathrm {Kurt} [X]}{n}}}$， 但如果峰度被定義為：${\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}}$，公式可變得更加複雜。

更一般地說，假定${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$為方差相等的獨立隨機變量，那麼：

${\displaystyle \operatorname {Kurt} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Kurt} (X_{i}),}$

而定義中如果不包含「減3」就無法成立。

如果超值峰度為正，稱為高狹峰（leptokurtic）。如果超值峰度為負，稱為低闊峰（platykurtic）。

對於具有${\displaystyle n}$個值的樣本，樣本峰度為：

${\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}-3}$

其中${\displaystyle m_{4}}$是四階樣本中心矩，${\displaystyle m_{2}}$是二階中心矩（即使樣本方差），${\displaystyle x_{i}}$是第${\displaystyle i^{th}}$個值，${\displaystyle {\overline {x}}}$是樣本平均值。注意此处计算方差的时候除数是${\displaystyle N}$，而不是单独计算样本方差的${\displaystyle (N-1)}$。

有時候也使用公式：

${\displaystyle D={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$,

${\displaystyle E={1 \over nD^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}-3}$

其中，${\displaystyle n}$為樣本大小，${\displaystyle D}$為事先計算的方差，${\displaystyle x_{i}}$為第${\displaystyle i}$個測量值，${\displaystyle {\bar {x}}}$為事先計算的算術平均數。

在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：

${\displaystyle {\text{Kurtosis}}={n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum _{i=1}^{n}({x_{i}-{\bar {x}} \over {\text{StDev}}})^{4}-{3(n-1)^{2} \over (n-2)(n-3)}}$

• 偏度
• 主動差

• Joanes, D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189. doi:10.1111/1467-9884.00122
• Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics? （页面存档备份，存于）