布莱克-舒尔斯模型

V(S,t)：歐式期權的理論价格

C(S,t)：認購期權的价格

P(S,t)：認沽期權的价格

ln()：自然對數

K：交割价格

S：即期價格（Spot）

τ：有效期

T：到期日

t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月

${\displaystyle \tau =T-t}$

r：连续复利计无风险利率

${\displaystyle \sigma ^{2}}$：年度化方差

N()：常態分佈变量的累积分布函数

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz}$

對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

把方程重寫成左右兩邊：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性。右方代表期權長倉的無風險回報及${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$股相關資產短倉。

求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式。

利用以下约束条件，可解認購期權（Call Option）的理論值。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

認購期權的理論價格是：

${\displaystyle \displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }}$

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}}$

利用相同的方法，也可解認沽期權的理論價格：

${\displaystyle \displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S}$

認購期權及認沽期權的理論價格都包含 ${\displaystyle e^{-r\tau }}$，把交割價格K以連續複利折算為現值。

${\displaystyle \displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }}$