惯性参考系

物体的运动只能通过客体（其他物体、观察者或是一组时空坐标）来相对描述。这些客体称作参考系。如果参考系选择得不好，运动定律就会变得不必要地复杂。例如，在某些参考系中不受外力的物体可以保持静止，而在另外某些参考系中则有可能在未受力的情况下，从某个时刻开始运动。类似地，如果空间的描述不均一或是含时，那么在此时选定的参考系中，自由物体的运动轨迹就有可能变得非常复杂。因而从直觉上来说，力学定律在惯性系中的形式最简。[1]

在惯性系中，物体满足牛顿第一定律，即在不受力的情况下，速度的大小与方向不变。[1]同时，质点满足的牛顿第二定律的形式为：

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

其中，F是物体所受的总外力、m为质点的质量，a则是参考系中静止的观察者测得的加速度。F是电磁力、引力以及核力这些“真实”的力的矢量和。与此形成对比的是，在绕着某个轴以角速率Ω旋转的参考系中，牛顿第二定律的形式为：

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

虽然形式看起来并没有发生变化，但此时的F′则要在F基础上加上下面这些项：

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

其中参考系的旋转通过沿着旋转轴、大小为Ω的矢量Ω表达，符号×表示矢量间的叉积运算，矢量x_B为物体的位置，而v_B则是旋转的观察者看到的速度。

F′中附加的这些项是由参考系造成的“假想”的力。第一项叫作科里奥利力，第二项叫作离心力，而第三项则叫作欧拉力。这三项共同具有这样一个特点：它们会在Ω = 0时消失，也就是说在惯性系中为零；它们的方向与大小会由于Ω不同，而发生变化；它们在旋转系中普遍存在（即所有质点都会受其影响）；它们并没有可以识别的物理来源。同时，这些假想力还不会像核力与静电力那样随着质点间距离增大而减小。比如离心力就有可能在质点远离转轴的过程中增大。

综上，所有观察者看到的真实力F是一样的；非惯性系中的观察者还要考虑假想力。由于非必须力不存在，惯性系中的物理定律更为简洁。

牛顿曾假设存在相对于绝对空间静止的恒星。牛顿运动定律在相对于这些恒星静止或匀速运动的参考系中成立。而在相对于静止恒星加速运动的参考系中，比如相对于这些恒星旋转的参考系，运动定律需要附加惯性力，比如前文所说的那些“假想力”。牛顿曾设计过两种可以展示这些力有实际影响的实验：一种是通过测定悬挂着两个绕共同质心旋转的球的绳中的拉力来确定两个球的绝对运动角速度；另一种则是当旋转的水桶突然停止旋转时，其中的水的表面的形状仍成凹状的抛物面。[9]在这两种情形中，如果不考虑离心力与科里奥利力的话，对于旋转的观察者来说，牛顿第二定律将不再成立。

不过，那些“静止的”恒星实际上却并不是静止的。银河系内部的恒星会绕着银心转动（表现为自行）。而银河系外的则也会参与对应星系中的运动：部分由于宇宙膨胀，部分是它们的本动。[10]仙女座星系更是在以7005117000000000000♠117 km/s的速度撞向银河系。[11]惯性系的概念现在不再以“静止的恒星”或是绝对空间来定义。但惯性系的确认仍是基于其中的物理定律是否简洁，特别是是否需要考虑惯性力。[12]

实际情况中，将“静止”恒星作为惯性系所造成的偏差非常小。例如，地球绕太阳公转时的离心加速度要比太阳公转的离心加速度大约三千多万倍。[13]

对于宇宙是否在转动的这个更进一步的问题，尽管存在更明确的观测（测量不确定度更小的观测），例如，并不各向同性的宇宙微波背景辐射或太初核合成，[14][15]在这里還是通过银河系目前形状的形成来探讨这个问题。[16]银河系较为平坦的形状来源于其在惯性系中的转动速率。如果我们将其视在转动速率完全归因为惯性系中的转动，那么在我们假设部分转动效应实际来源于宇宙整体的转动时就可以得到不同的平坦程度。基于物理定律，科学家构造了一种考虑到宇宙转动的模型。如果考虑转动的模型要比没有考虑转动的模型中的物理定律更为符合观测结果，我们就需要选定转动的最佳拟合值，以与其他相关观测结果相符。而如果天文观测中不能得到转动参数，或是理论超出观测误差限，现有物理定律就有必要进行修正，比如引入暗物质来解释星系自轉問題。到目前为止，有关观测显示宇宙自转速率非常之慢，角速率上限为60·10¹²年自转一次（10⁻¹³ rad/yr）。[17]人们也由此质疑宇宙是否真在转动。不过如果人们找到转动的明确证据，经典力学与狭义相对论中有关惯性力的说法就需要修正，或者用广义相对论中时空曲率与物体沿测地线运动的说法取代。

而在微观尺度上，当量子效应非常显著时，就需要引入相应的量子参考系。

两个相对速度为${\displaystyle {\stackrel {\vec {v}}{}}}$的参考系。系相对于S系旋转了一定的角度。当一个不受力的物体在其中匀直运动，它们就是惯性系。如果在一个参考系中看到一个物体匀直运动，那么在另一个参考系中，那个物体也会在匀直运动。

在牛顿力学的范畴内，惯性系是牛顿第一定律成立的参考系。[32]狭义相对论原理将其中的提法推广到所有物理定律。

牛顿认为第一定律在相对于“静止”恒星匀速运动的参考系中成立[lower-alpha 2]，也就是与那些恒星的相对速度的方向与大小都不发生变化。[33]现在人们已经不用涉及到绝对空间的提法，在经典力学中这样定义惯性系：[34][35]

在惯性系中，物体在不受力的情况下会沿着一条直线，以恒定的速率运动。

因此相对于惯性系，物体只会在实际受力时才会加速，而在净外力为零时，物体会静止或继续沿着一条直线，以恒定速率匀直运动。牛顿惯性系间的变换是通过伽利略变换完成的。

但这种判定方法存在一定的问题：如果把匀直运动看作是净外力为零的结果，那么这种提法本身并没有给出惯性系有何意义；如果这是在定义惯性系，那么我们就必须得判定净外力何时为零。爱因斯坦也曾提到过这个问题：[36][37]

惯性原理的弱点在于它含有这样的一种循环论证：如果有一物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来就没有加速度；而只是由于它运动起来没有加速度，我们才知道它离开别的物体足够远。

——阿尔伯特·爱因斯坦，《相对论的意义》

这个问题有一些解决方法。第一种是假设当物体距离某种真实力来源足够远时，这个物体就不会受到那种力的作用。此时，我们只需要确保物体距离所有力的来源足够远，即离其他所有物体足够远，就可以保证它不受力。[38]但关于这种方法有一种存在很久的反驳意见即距离再远的两个物体也会相互影响（马赫原理）。另一种方法就是辨识所有力的来源，并描述它们对物体的作用力。而在实际情况中，人们可能由于马赫原理以及对于世界了解水平的限制，而漏掉其中某些力或力的影响。第三种方法是在参考系变换过程中，看受力的变化。由于参考系加速度产生的惯性力会在惯性系中消失，而这些惯性力的变换在一般情况下是非常难过复杂的。基于物理定律普适性以及定律表述简洁性的要求，惯性系可以通过惯性力为零来与非惯性系相区别。

牛顿本人也曾在运动定律的某个推论中给出了他自己的相对性原理：[39][40]

当某个给定的空间静止或匀直运动，那么这个空间中的物体之间的运动保持不变。

这条原理与狭义相对论原理有两点不同：它只适用於力学并且没有提到定律表述的简洁性。而它与狭义相对论原理相依的一点就是对于某个特定系统的描述在彼此平移运动的参考系间保持形式不变。[lower-alpha 3]

包含相对性原理的经典力学要求所有惯性系等价。牛顿力学还另添了绝对时空的假设。基于这两种假设，同一个事件（时空中的一个点）在两个惯性系的坐标之间的关系由伽利略变换给出：

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

${\displaystyle t^{\prime }=t-t_{0}}$

其中r₀与t₀是时空原点的偏移量，v是两个惯性系之间的相对速度。在伽利略变换中，两个事件之间的时间间隔t₂ − t₁在所有惯性系中不变，两个同时事件之间的距离|r₂ − r₁|也是不变的。

狭义相对论与牛顿力学一样假设惯性系等价。它还有另一条公设，无论光的传播方向、频率以及光源运动状态如何，真空中光速c₀不变。第二条公设虽然已经得到实验验证，但它会造成一些违反直觉的现象：

• 时间膨胀（运动的时钟变慢）
• 长度收缩（运动物体在运动方向变短）
• 相对同时（某个参考系内同时的事件在几乎所有相对于那个参考系运动的参考系中不同时。）

这些公设的推论是时空的普遍性质。无论涉及的物体结构或是钟表运作如何，它们都普遍成立。这些效应可以用洛伦兹变换表示：

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma \left(x-vt\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }=y}$

${\displaystyle z^{\prime }=z}$

${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c_{0}^{2}}}\right)}$

这里忽略了原点的偏移量，相对速度沿${\displaystyle x}$轴方向，洛伦兹因子γ定义为：

${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c_{0})^{2}}}}\ \geq 1.}$

洛伦兹变换在c₀ → ∞或v → 0时与伽利略变换等价。经过洛伦兹变换后，事件间的时间与距离可能会发生变化，不过洛伦兹标量间隔s却不会发生改变：

${\displaystyle s^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}-c_{0}^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2}}$

而在相对论中，旋转系只能应用在距离转动中心较近的物体，因为当距离足够大时，物体速度就会超过光速。[47][48]

等效原理是广义相对论的一条基础原理：[49][50]

观察者不能利用实验手段判断加速度是来自引力还是来自加速参考系。

这条原理由爱因斯坦1907年在《关于相对性原理和由此得到的结论》中引入，而后在1911年发展。[51]这条原理后来得到厄缶实验的验证。这个实验确定了所有物体惯性质量与引力质量的比值相同。目前人们在10¹¹范围内也没有找出两者的差别。[52][53]

爱因斯坦通过把“平直”的闵可夫斯基时空取代为具有一定度规的弯曲时空来使“惯性系”与“非惯性系”的效应不再存在区别。在广义相对论中，惯性原理被测地线运动原理，即物体依照时空曲率运动，取代。在广义相对论中，物体受到曲率的影响不再具有保持速度不变的“惯性”。测地线导数的存在标志着惯性系不再像牛顿力学或是狭义相对论中那样全域存在。

不过广义相对论会在充分小的时空区域内退化为狭义相对论。在那种区域内，曲率的影响非常小，人们可以重新使用惯性系中的结论。[54][55]因而，狭义相对论有时会称作是“定域理论”。[56]

• 微分同胚
• 广义协变性
• 洛伦兹协变性

• Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Spacetime Physics, 2nd ed. (Freeman, NY, 1992)
• Albert Einstein, Relativity, the special and the general theories, 15th ed. (1954)
• Poincaré, Henri. . Archives Neerlandaises. 1900, V: 253–78.
• Albert Einstein, On the Electrodynamics of Moving Bodies, included in The Principle of Relativity, page 38. Dover 1923
• Julian B. Barbour; Herbert Pfister. . Birkhäuser. 1998: 445. ISBN 0-8176-3823-7.
• PJ Nahin. . Springer. 1999: 369; Footnote 12. ISBN 0-387-98571-9.
• B Ciobanu, I Radinchi （页面存档备份，存于） Modeling the electric and magnetic fields in a rotating universe Rom. Journ. Phys., Vol. 53, Nos. 1–2, P. 405–415, Bucharest, 2008
• Yuri N. Obukhov, Thoralf Chrobok, Mike Scherfner （页面存档备份，存于） Shear-free rotating inflation Phys. Rev. D 66, 043518 (2002) [5 pages]
• Yuri N. Obukhov （页面存档备份，存于） On physical foundations and observational effects of cosmic rotation (2000)
• Li-Xin Li （页面存档备份，存于） Effect of the Global Rotation of the Universe on the Formation of Galaxies General Relativity and Gravitation, 30 (1998) doi:10.1023/A:1018867011142
• P Birch （页面存档备份，存于） Is the Universe rotating? Nature 298, 451 - 454 (29 July 1982)
• Kurt Gödel An example of a new type of cosmological solutions of Einstein’s field equations of gravitation Rev. Mod. Phys., Vol. 21, p. 447, 1949.

• 《斯坦福哲学百科全书》（Stanford Encyclopedia of Philosophy）：时空：惯性系 （页面存档备份，存于）
• YouTube上的展示惯性系与非惯性系对同一事件描述的动画