极限点

极限点（英語：）在数学中是指可以被集合S中的点[註 1]随意逼近的點。[註 2]

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[註 3]

定义

定義 —
$(X,\,\tau )$ 为拓扑空间， $A\subseteq X$ 為 $X$ 的子集；若對 $X$ 的某點 $x\in X$ ，所有包含 $x$ 的开集也有 $A$ 內的非 $x$ 点，即：

(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}

則稱 $x$ 為 $A$ 的极限点（）。由 $A$ 的所有極限點所組成的集合稱為 $A$ 的導集（），通常記為 $A^{\prime }$ ，換句話說：

A^{\prime }:={\bigg \{}x\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}{\bigg \}}

以上的定義來自於「總是可以找到一組 $A$ 內的點去逼近 $x$ 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿著 $A$ 去逼近點 $x$ 」的話，還需要對 $(X,\,\tau )$ 做額外的假設。

特殊类型的極限點

定義 —
$(X,\,\tau )$ 为拓扑空间， $A\subseteq X$ 為 $X$ 的子集：

若包含 $x$ 的所有开集都包含可數个 $A$ 的点，则稱 $x$ 是 $A$ 的‐会聚点（）。

若包含 $x$ 的所有开集都包含不可數个 $A$ 的点，则稱 $x$ 是 $A$ 的缩合点（）。

度量空间的聚集点

度量空间 $M$ 自然的帶有由度量 $d:M\times M\to \mathbb {R} ^{+}$ 生成的拓撲 $\tau _{d}$ ；更仔細地說，是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲，也就是 $\tau _{d}$ 裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對 $\tau _{d}$ 定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義：

定義 —
$(M,\,d)$ 是度量空间，且 $A\subseteq M$ ；若 $x\in M$ ，且對所有 $\epsilon >0$ ，存在 $a\in A$ 使得 $0<d(x,\,a)<\epsilon$ ，也就是

(x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]

這樣稱 $x$ 是 $A$ 的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）

直觀上可理解為「可以用 $A$ 裡的點（以度量 $d$ ）無限制地逼近 $x$ 」。應用上， $x$ 為定義域的聚集點也是函數極限能在 $x$ 上有定義的前提條件。

在度量空间中，‐会聚点与普通的极限点定义等价

性质

关于极限点的性质： $x$ $x$ 是 $S$ $S$ 的极限点，当且仅当它属于 $S$ $S$ \ { $x$ $x$ }的闭包。
- 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是 $S$ 的极限点，当且仅当所有 $x$ 的邻域都包含一个非 $x$ 的点属于S，当且仅当所有 $x$ 的邻域含有一个点属于 $S$ \ {x}，当且仅当 $x$ 属于 $S\ {''x''}$ 的闭包。

$S$ $S$ 的闭包具有下列性质： $S$ $S$ 的闭包等于 $S$ $S$ 和其導集的并集。
- 证明：（从左到右）设 $x$ 属于 $S$ 的闭包。若 $x$ 属于S，命题成立。若 $x\notin S$ ，则所有 $x$ 的邻域都含有一个非 $x$ 的点属于 $S$ ；也就是说，x是 $S$ 的极限点， $x\in S'$ 。（从右到左）设 $x$ 属于S，则明显地所有 $x$ 的邻域和 $S$ 相交，所以 $x$ 属于 $S$ 的闭包。若 $x$ 属于L(S)，则所有 $x$ 的邻域都含有一个非 $x$ 的点属于S，所以 $x$ 也属于 $S$ 的闭包。得证。

上述结论的推论给出了闭集的性质：集合 $S$ $S$ 是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
- 证明1：S是闭集，当且仅当 $S$ 等于其闭包，当且仅当 $S$ = $S$ ∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
- 证明2：设 $S$ 是闭集， $x$ 是 $S$ 的极限点。则 $x$ 必须属于S，否则 $S$ 的补集为 $x$ 的开邻域，和 $S$ 不相交。相反，设 $S$ 包含所有它的极限点，需要证明 $S$ 的补集是开集。设 $x$ 属于 $S$ 的补集。根据假设，x不是极限点，则存在 $x$ 的开邻域U和 $S$ 不相交，则U在 $S$ 的补集中，则 $S$ 的补集是开集。

孤点不是任何集合的极限点。
- 证明：若 $x$ 是孤点，则{x}是只含有 $x$ 的 $x$ 的邻域。

空间 $x$ $x$ 是离散空间，当且仅当 $x$ $x$ 的子集都没有极限点。
- 证明：若 $x$ 是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若 $x$ 不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则 $x$ 是 $x$ 的极限点。

若空间 $x$ $x$ 有密着拓扑，且 $S$ $S$ 是 $x$ $x$ 的多于一个元素的子集，则 $x$ $x$ 的所有元素都是 $S$ $S$ 的极限点。若 $S$ $S$ 是单元素集合，则所有 $x$ $x$ \ $S$ $S$ 的点仍然是 $S$ $S$ 的极限点。
- 说明：只要 $S$ \ {x}非空，它的闭包就是X；只有当 $S$ 是空集或 $x$ 是 $S$ 的唯一元素时，它的闭包才是空集。
$X$ 為T₁空間，則 $x$ 為 $A\subseteq X$ 的極限點等價於 $x$ 的每個鄰域皆包含無限多個 $A$ 的點。[註 4]

注释

不包含极限点本身
非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
一个有关的概念是序列的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。
在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，這樣通常會比較輕鬆。

引用

. PlanetMath.

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[1] 不包含极限点本身

[2] 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近

[3] 一个有关的概念是序列的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。

[4] 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，這樣通常會比較輕鬆。