范数

绝对值范数為

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}$

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

在n维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上，向量${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }}$的最符合直觉的长度由以下公式给出

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

根据勾股定理，它给出了从原点到点${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上最常用的范数，但正如下面举出的，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$中，最常见的范数是：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}$

其中x是一个列向量(${\displaystyle [x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }}$)，而${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}}$表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

特别地，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

如果将复平面看作欧几里得平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把${\displaystyle x+i\,y}$视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$（最初由欧拉提出）。