簡森不等式

假設${\displaystyle \mu }$是集合${\displaystyle \Omega }$的正測度，使得${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$。若${\displaystyle g}$是勒貝格可積的實值函數，而${\displaystyle \varphi }$是在${\displaystyle g}$的值域上定義的凸函數，則

${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu }$

以概率論的名詞，${\displaystyle \mu }$是個概率測度。函數${\displaystyle g}$換作實值隨機變數${\displaystyle X}$（就純數學而言，兩者沒有分別）。在${\displaystyle \Omega }$空間上，任何函數相對於概率測度${\displaystyle \mu }$的積分就成了期望值。這不等式就說，若${\displaystyle \varphi }$是任一凸函數，則

${\displaystyle \varphi \left(E(X)\right)\leq E(\varphi (X))\,}$

假設${\displaystyle \Omega }$是實數軸上的可測子集，而${\displaystyle f(x)}$是非負函數，使得

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

以概率論的語言，${\displaystyle f}$是個機率密度函數。

延森不等式变成以下關於凸積分的命題：

若${\displaystyle g}$是任一實值可測函數，${\displaystyle \varphi }$在${\displaystyle g}$的值域中是凸函數，則

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

若${\displaystyle g(x)=x}$，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

若${\displaystyle \Omega }$是有限集合${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$，而${\displaystyle \mu }$是${\displaystyle \Omega }$上的正規計數測度，則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示：

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$

其中${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0}$。

若${\displaystyle \varphi }$是凹函數，只需把不等式符號調轉。

假設${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$是正實數，${\displaystyle g(x)=x}$，${\displaystyle \lambda _{i}=1/n}$及${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$。上述和式便成了

${\displaystyle \log \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\log(x_{i})}{n}},}$

兩邊取取以${\displaystyle e}$为底数的指数函数就得出熟悉的：

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學中，若凸函數是指數函數，延森不等式特別重要：

${\displaystyle e^{\langle X\rangle }\leq \left\langle e^{X}\right\rangle ,}$

其中方括號表示期望值，是以隨機變數X的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單（參見Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三個指數函數

${\displaystyle \left\langle e^{X}\right\rangle =e^{\langle X\rangle }\left\langle e^{X-\langle X\rangle }\right\rangle }$

套用不等式

${\displaystyle e^{X}\geq 1+X,}$

即得出所求的不等式。