伯努利定律

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受壓力的推動而得之能量：

${\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}$

流體因重力做功所損失的能量：

${\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}.\;}$

流體所得的動能可以改寫為：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$

根據能量守恆定律，流體因受力所得的能量＋流體因重力做功所損失的能量＝流體所得的動能。

${\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}$

由連續方程式可知：

${\displaystyle A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\mbox{constant}}}$

令${\displaystyle {\mbox{constant}}=\Delta V\;}$

從等式兩邊除以${\displaystyle \Delta t\;}$ 及${\displaystyle \Delta V\;}$可得：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}}$

或

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}={\mbox{constant}}}$

受壓力及重力作用流體質點之自由體圖

考慮沿流線運動的微小流體質點[3]，其質量以${\displaystyle \delta m=\rho \delta n\delta s\delta y}$表示，δy代表寬度，流體質點運動以速度向量V表示，流線座標可表示為與某參考點的距離s=s(t)及流線局部曲率半徑${\displaystyle \Re =\Re (s)}$ ，沿著流線的座標為s；垂直流線的座標為 n。

在垂直流線的方向n̂上，由於存在向心加速度${\displaystyle a_{n}={V^{2} \over \Re }}$，故質點所受淨力為：

${\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle ={\frac {\delta mV^{2}}{\Re }}={\frac {\rho \delta \mathbb {V} V^{2}}{\Re }}{\bar {V}}}$，其中${\displaystyle \mathbb {V} =\delta s\delta n\delta y}$為微小流體質點體積，${\displaystyle \rho }$為流體密度。

而質點所受重力為：

${\displaystyle \textstyle \delta W_{n}=-\delta W\cos \theta =-\gamma \delta \mathbb {V} \cos \theta }$，其中${\displaystyle \textstyle \gamma =\rho g}$。

如圖所示的質點中央壓力為p ，垂直流線的兩端平均壓力分別為${\displaystyle \textstyle p+\delta p_{n}}$及${\displaystyle \textstyle p-\delta p_{n}}$，可用泰勒級數展開求壓力差異${\displaystyle \textstyle \delta p_{n}=({\frac {\partial p}{\partial n}})({\frac {\delta n}{2}})}$。

${\displaystyle \delta F_{pn}}$為質點於垂直方向上所受淨壓

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \delta F_{pn}&=(p-\delta p_{n})\delta s\delta y-(p+\delta p_{n})\delta s\delta y=-2\delta p_{n}\delta s\delta y\\&=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta n\delta s\delta y=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta \mathbb {V} \\\end{aligned}}}$

故

${\displaystyle \textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle =\delta W_{n}+\delta F_{pn}=(-\gamma \cos \theta -{\frac {\partial p}{\partial n}})\delta \mathbb {V} }$

因為沿著垂直流線方向 ${\displaystyle \textstyle \cos \theta ={dz \over dn}}$，可得到垂直流線方向之運動方程式

${\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}$

此式意味著，垂直於流線的壓力梯度及質點所受重力會改變流向，造成彎曲的流線。

若忽略重力的因素，即只考慮流體在水平面的流動，以龍捲風為例，${\displaystyle {dz \over dn}=0}$，會得到${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial n}}=-{\rho V^{2} \over \Re }}$，這意味著，壓力隨著遠離曲率中心的距離而增大（n的正向，指向彎曲流線的內部），由於${\displaystyle {\rho V^{2} \over \Re }}$為正值，因此${\displaystyle {\partial p \over \partial n}}$會是負的，在龍捲風之外的壓力（典型的大氣壓力）遠大於中心處（低氣壓，可能會產生部分真空），而這些壓力差會被用於平衡曲率運動所需的向心力。

在s為定值的情況下

${\displaystyle {\partial p \over \partial n}={dp \over dn}}$

沿n的方向積分可得

${\displaystyle \int {dp \over \rho }+\int {V^{2} \over \Re }dn+gz={\mbox{constant along the streamline}}}$

對於不可壓縮流，可得

${\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}$

由推導方程式所需的基本假設：穩定、無黏性 及不可壓縮流，可以得出

1.跨過流線的運動方程式 ${\displaystyle (-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }}$

${\displaystyle p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}$

2.沿著流線的運動方程式 同上述做法[3]，可得出沿著流線方向之運動方程式

${\displaystyle (-\gamma {dz \over ds}-{\frac {\partial p}{\partial s}})={\rho \over 2}{dV^{2} \over ds}}$

以及伯努利定律

${\displaystyle p+{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}}$

在跨過流線的情形使用伯努力定律時，若流體位置發生旋轉或彎曲，就會因跨過流線的運動方程式中所含的${\displaystyle \rho \int {V^{2} \over \Re }dn}$，導致計算結果須修正。

當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速度等於${\displaystyle {\sqrt {2gh}}}$，其中${\displaystyle g}$為重力加速度，${\displaystyle h}$為開口的中心和液體最高面的距離。[4]這個速度剛好等於液體從離地${\displaystyle h}$的地方以自由落體的方式下落時著地前的速度（但實際上因為有空氣阻力，所以實際情形一般不會以自由落體的方式下落）。

簡易噴槍

運作中的簡易噴槍

簡易噴霧器，以大吸管固定兩隻小吸管使之夾角略小於直角，因從吸管吹出之氣體流速較快，壓力較一大氣壓力為低，因此能夠將水經由下端吸管中吸起，並於開口處加速破碎成霧滴，模型製作用噴槍以及工業用噴漆噴槍多為此種設計。

不過因為伯努利定律是假設流體沿著流線流動，探討同一流線上二點的速度及壓力變化。因此有些現象和伯努利定律無關，例如懸浮保麗龍球，將可折彎的吸管一端向上穩定吹出氣體，將一直徑約3公分之保麗龍球放置於氣柱上，保麗龍球能夠懸浮晃動於一定區域中，因為保麗龍球上方和下方的氣流不是同一流線，這和伯努利定律無關，是康達效應的結果[5]。

伯努利從觀察液體的行為中推導出伯努利方程式，但他的方程是只能應用在不可壓縮的流體，以及雖然可壓縮但流速非常慢的流體（也許可以到1/3的聲速）。利用基本物理原理，可以發展出類似的方程式，以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似於伯努力定律，能應用在不同領域方程式。它們的推導只運用了像是牛頓第二定律和熱力學第一定律的基本物理定律。

• 丹尼尔·伯努利
• 康達效應
• 欧拉方程 (流体动力学)
• 水力学
• 纳维-斯托克斯方程
• 流體動力學
• 文丘里效应

维基共享资源上的相关多媒体资源：伯努利定律

• Head and Energy of Fluid Flow （页面存档备份，存于）
• Bernoulli equation calculator
• Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement （页面存档备份，存于）
• Millersville University – Applications of Euler's equation
• NASA – Beginner's guide to aerodynamics （页面存档备份，存于）
• Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg （页面存档备份，存于）