直言三段论

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A、E、I、O全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

第1格	第2格	第3格	第4格
AAA	AEE	AAI	AAI
EAE	EAE	EAO	EAO
AII	AOO	AII	AEE
EIO	EIO	EIO	EIO
AAI	AEO	IAI	IAI
EAO	EAO	OAO	AEO

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

• AAA（Barbara）

 所有M是P。
 所有S是M。
∴所有S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}$

• EAE（Celarent）

 没有M是P。
 所有S是M。
∴没有S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$

• AII（Darii）

 所有M是P。
 有些S是M。
∴有些S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$

• EIO（Ferio）

 没有M是P。
 有些S是M。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

• AEE（Camestres）

 所有P是M。
 没有S是M。
∴没有S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}$

（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）[2]

• EAE（Cesare）

 没有P是M。
 所有S是M。
∴没有S是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$

（EAE-2是EAE-1的等价形式。）

• AOO（Baroco）

 所有P是M。
 有些S不是M。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

（这种形式还有其他推导方法。）[3]

• EIO（Festino）

 没有P是M。
 有些S是M。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

（EIO-2是EIO-1的等价形式。）

• AAI（Darapti）

 所有M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）[4]

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$

• EAO（Felapton）

 没有M是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）[5]

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

• AII（Datisi）

 所有M是P。
 有些M是S。
∴有些S是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}$

（AII-3是AII-1的等价形式。）

• EIO（Ferison）

 没有M是P。
 有些M是S。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

（EIO-3是EIO-1的等价形式。）

• IAI（Disamis）

 有些M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}$

（IAI-3是IAI-4的等价形式。）

• OAO（Bocardo）

 有些M不是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}$

（这种形式还有其他推导方法。）[6]

第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充[7]。

• AAI（Bamalip）

 所有P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些P确实存在。）

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}$

• EAO（Fesapo）

 没有P是M。
 所有M是S。
∴有些S不是P。

（这种形式需要假定有些M确实存在。）[8]

${\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

（EAO-4是EAO-3的等价形式。）

• AEE（Calemes）

 所有P是M。
 没有M是S。
∴没有S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}$

• EIO（Fresison）

 没有P是M。
 有些M是S。
∴有些S不是P。

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}$

（EIO-4是EIO-1的等价形式。）

• IAI（Dimaris）

 有些P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。

${\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}$

歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题。

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A弱化为结论I，结论E弱化为结论O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）${\displaystyle \,S\,}$和集合${\displaystyle \,M\,}$有某种二元关系，并且集合${\displaystyle \,M\,}$和集合${\displaystyle \,P\,}$有某种二元关系，从而推论出集合${\displaystyle \,S\,}$和集合${\displaystyle \,P\,}$是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

• A（全称肯定）命题：所有${\displaystyle \,M\,}$的元素是${\displaystyle \,N\,}$的元素，确定了${\displaystyle \,M\,}$“包含于”${\displaystyle \,N\,}$的关系，${\displaystyle \,M\,}$是${\displaystyle \,N\,}$的子集，${\displaystyle \,N\,}$是${\displaystyle \,M\,}$的超集，这是一种偏序关系，${\displaystyle \,L\,}$包含于${\displaystyle \,M\,}$，並且${\displaystyle \,M\,}$包含于${\displaystyle \,N\,}$，則${\displaystyle \,L\,}$包含于${\displaystyle \,N\,}$。A命题允许两个推理方向，从元素属于${\displaystyle \,M\,}$推出它属于${\displaystyle \,N\,}$，从元素不属于${\displaystyle \,N\,}$推出它不属于${\displaystyle \,M\,}$。A命题确定了${\displaystyle \,M\,}$减${\displaystyle \,N\,}$的差集是空集。
• E（全称否定）命题：所有${\displaystyle \,M\,}$的元素不是${\displaystyle \,N\,}$的元素，确定了${\displaystyle \,M\,}$和${\displaystyle \,N\,}$是“无交集”的关系，这是一种对称关系，${\displaystyle \,M\,}$无交集于${\displaystyle \,N\,}$，同于${\displaystyle \,N\,}$无交集于${\displaystyle \,M\,}$。E命题允许两个推理方向，从元素属于${\displaystyle \,M\,}$推出它不属于${\displaystyle \,N\,}$，从元素属于${\displaystyle \,N\,}$推出它不属于${\displaystyle \,M\,}$。E命题确定了${\displaystyle \,M\,}$与${\displaystyle \,N\,}$的交集是空集。
• I（特称肯定）命题：有些${\displaystyle \,M\,}$的元素是${\displaystyle \,N\,}$的元素，确定了${\displaystyle \,M\,}$和${\displaystyle \,N\,}$是“有交集”的关系，这是一种对称关系，${\displaystyle \,M\,}$有交集于${\displaystyle \,N\,}$，同于${\displaystyle \,N\,}$有交集于${\displaystyle \,M\,}$。I命题确定了${\displaystyle \,M\,}$与${\displaystyle \,N\,}$的交集不是空集。
• O（特称否定）命题：有些${\displaystyle \,M\,}$的元素不是${\displaystyle \,N\,}$的元素，确定了${\displaystyle \,M\,}$“不包含于”${\displaystyle \,N\,}$的关系。O命题确定了${\displaystyle \,M\,}$减${\displaystyle \,N\,}$的差集不是空集。

两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题組合。E命题还可以和I命题組合，两个否定命题和IE组合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。

AA组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA組合推论出谓词包含於主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的，EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法，这里采用了直接推理中的“对置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E命题及/或I命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。