子集

假设有 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 两个集合，如果 ${\displaystyle A}$ 中的每个元素都是${\displaystyle B}$的元素，则：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，记作 ${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的超集，记作 ${\displaystyle B\supseteq A}$

如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的子集，但 ${\displaystyle A}$ 不等于 ${\displaystyle B}$（即 ${\displaystyle B}$ 中至少存在一个元素不在 ${\displaystyle A}$ 集合中），则：

• ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，记作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的真超集，记作 ${\displaystyle B\supsetneqq A}$

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：[1]

• ${\displaystyle \subseteq }$表示子集关系，${\displaystyle \subset }$表示真子集关系。使用的作品如[2][3][4]
• ${\displaystyle \subset }$表示子集关系，${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集关系。使用的作品如[5]^:p.6

• 集合 ${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$ 是集合 ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ 的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大于2000的素数${\displaystyle \}}$ 是集合 ${\displaystyle \{x:x}$是大于1000的奇数${\displaystyle \}}$ 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 ${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合 ${\displaystyle X}$ 的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

A是B的子集。

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反对称性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$当且仅当${\displaystyle A=B}$

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\subseteq C}$

这个命题说明：对任意集合 ${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$ 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若 ${\displaystyle A,B,C}$ 是集合 ${\displaystyle S}$ 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命題1給出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若 ${\displaystyle C\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle C\subseteq B}$ 则 ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命题4:对任意两个集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B\subseteq A'}$

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。