真空电容率

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為${\displaystyle r\,\!}$，電量都是${\displaystyle Q\,\!}$的兩個點電荷，其相互作用於對方的力${\displaystyle F\,\!}$，可以用方程式表達為

${\displaystyle F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$可以任意地設定。對於每一個不同的${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$數值設定，${\displaystyle Q\,\!}$的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號[5]。

厘米-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$的數值被設定為1，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

${\displaystyle F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle q_{s}\,\!}$是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是1公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因^1/2公分」。這與國際單位制的因次，「牛頓^1/2公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子${\displaystyle 4\pi \,\!}$於庫侖定律，表達方程式為

${\displaystyle F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!}$；

其中，${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }\,\!}$、${\displaystyle q'_{s}\,\!}$分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }=1\,\!}$。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因^1/2公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為${\displaystyle q\,\!}$，將庫侖定律寫為它的現代形式：

${\displaystyle F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!}$。

很明顯地，舊厘米-克-秒靜電制裏的電量${\displaystyle q_{s}\,\!}$與新的國際標準制電量${\displaystyle q\,\!}$的關係式為

${\displaystyle q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}$。

採用國際標準制，要求力的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為1 安培的電流在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是 「庫侖²牛頓^-1公尺^-2」（或者，「法拉¹公尺^-1」）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$是電場，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!}$。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$。

應用一個向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$。

這樣，就可以得到光波的磁场波動方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!}$。

以同样的方式，也可得到光波的电场波动方程式：[註 1]

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$。

這光波傳播的速度（光速${\displaystyle c_{0}\,\!}$）是

${\displaystyle c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!}$。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位[6]。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$、${\displaystyle c_{0}\,\!}$的數值設定了${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的數值。若想知道如何決定${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$的數值，請參閱條目真空磁導率。