等效原理

早在17世紀，伽利略已利用物體從斜面滾下不同的距離所需要的時間，去證明物體於地球上的自由下落的加速度是一個常量；另外，伽利略亦發現單擺的週期只與擺長有關，而與擺錘的質料無關。稍後的牛頓則做了兩個等長而同形狀的單擺，其中一個的擺錘是用金做的；而另一個擺錘用等重的銀、鉛、玻璃、沙等不同物料製成。而牛頓在多次實驗均未能觀察到它們之間的週期差異。

從牛頓力學來說，質量本身被付予兩種不同的意義：一個從動力學方程式（牛頓第二定律）引入：

${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{I}}\mathbf {a} }$

${\displaystyle m_{\text{I}}\,}$是指慣性質量，代表著物體運動的慣性，即是物體抵抗運動變化的程度；另一方面，從牛頓萬有引力定律：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{G}}=-G{M_{\text{G}}m_{\text{G}} \over r^{2}}\mathbf {e_{r}} =m_{\text{G}}\mathbf {g} }$

可知${\displaystyle m_{\text{G}}\,}$是代表物體引力大小的一個參數，稱作引力質量。

至此可從定量分析去理解兩種不同物理量的關係：

從斜面的落體運動分析，可知

${\displaystyle m_{\text{I}}\mathbf {a} =m_{\text{G}}\mathbf {g} \sin \theta }$

${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}\right)\mathbf {g} \sin \theta }$

由於實驗結果是：自由下落的加速度是一個常量，所以：

${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$

但這個實驗的精確度不及單擺那麼高，從小幅單擺的分析可知：

${\displaystyle m_{\text{I}}l{\ddot {\theta }}=m_{\text{G}}g\theta }$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\left({\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}\right)\left({\frac {g}{l}}\right)\theta }$

則週期${\displaystyle T\,}$則表示為：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{\text{I}}l}{m_{\text{G}}g}}}}$

由於實驗的結果是：單擺的週期只與擺長有關，而與擺錘的質量無關；所以牛頓以${\displaystyle {\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}=1+O(10^{-3})\,}$的精確度於1680年接受了${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$的結論。

在牛頓之後，厄阜於1890年25年間，以鉑為基準用八種不同的材料去進行攏扭實驗，去測量引力質量與慣性質量的比例與1的偏離，從實驗的精確度，厄阜的結論是：

${\displaystyle {\frac {m_{\text{G}}}{m_{\text{I}}}}=1+O(10^{-8})\,}$

到了1962年，迪克改進了厄阜攏扭實驗之精確度至${\displaystyle 10^{-11}}$；到了1971年，布拉金斯基及潘洛夫等人又將實驗之精確度推至${\displaystyle 10^{-12}}$。此外還有別的科學家用實驗測定了原子和原子核的結合能所對應的引力質量與慣性質量之比，亦沒有發現對1之偏離（雖精確度不及厄阜攏扭實驗）。因此，在目前的精確度甚高之下，可證實：

${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$

從兩種質量的觀念上來說，他們是本質不同的物理量；但如果兩者的值之比例對一切物體相同，在實用上可把他們當同一個量來對待（即是物體的質量），這就是引力質量與慣性質量成正比例；在適當的單位制下，即令比例常數成為${\displaystyle 1}$，引力質量與慣性質量相等。

自牛頓至愛因斯坦的200余年間，人們對引力質量及慣性質量相等的事只是當成偶然的事件，並沒有深刻去研究，直至愛因斯坦完成狹義相對論後，要處理引力理論和相對性原理的調和問題，方始注意。愛因斯坦曾說：

引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定律也可表述為慣性質量同引力質量相等，它當時就使我認識到它的全部重要性。我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。

愛因斯坦用一個思想實驗來說明：在遙遠的宇宙深處（慣性參考系），有一個密封的太空船在${\displaystyle +z}$方向向上加速，其加速度為${\displaystyle 9.8\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$，假設密封的太空船內有一個太空人及一個鉛球，該太空人在太空船內拿起一塊鉛球，他感受到鉛球有重量；不單如此，他自己亦感受到自身有重量，他認為這有兩個可能性：一是太空船在太空中正在${\displaystyle +z}$方向向上（相對於太空人）加速，雖然附近沒有任何星球或重力場，太空人仍會感覺到因鉛球及自身的慣性關係有下墜的傾向，這就是慣性力。另一個可能性是太空船可能停在一顆行星上，其引力場強度是${\displaystyle 9.8\ \mathrm {N} \cdot \mathrm {kg} ^{-1}}$，它利用萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感到鉛球及自己的重量。

另一個思想實驗是：在大廈內的電梯不幸地斷了鋼索，電梯正以加速度${\displaystyle 9.8\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$向下加速，假設電梯槽無限長，電梯內有乘客及一個鉛球，裡面的乘客可觀察到鉛球及自己會浮在半空，即是“失重”。他認為這有兩個可能性：一是電梯在電梯槽中正在${\displaystyle -z}$方向向上（相對於電梯槽）加速，乘客及鉛球正跟著電梯加速。另一個可能性是電梯可能在遙遠的宇宙深處，其引力場強度是${\displaystyle 0\ \mathrm {N} \cdot \mathrm {kg} ^{-1}}$，沒有萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感受不到鉛球及自己的重量；由於乘客認為沒有任何力施加在自己及鉛球上，所以加速度為${\displaystyle 0\ \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$，是慣性參考系。

現在可從定量的分析去討論上述兩種情況，從第一個思想實驗可知：

${\displaystyle \mathbf {R} =m_{\text{I}}\mathbf {a} }$（從太空船外）

${\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {R} -m_{\text{G}}\mathbf {g} ^{\prime }}$（從太空船內）

由於${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$及${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {g} ^{\prime }\,}$，所以法向反作用力${\displaystyle \mathbf {R} \,}$相同，密封太空船內的太空人不可能分辨出重力所做成的重量或由慣性做出的“重量”。

由第二個思想實驗可知：

${\displaystyle m_{\text{I}}\mathbf {a} =m_{\text{G}}\mathbf {g} }$（從電梯外）

${\displaystyle \mathbf {a} ^{\prime }=\mathbf {0} }$ 及 ${\displaystyle \mathbf {g} ^{\prime }=\mathbf {0} }$（從電梯內）

由於${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$及法向反作用力${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} \,}$（任何物體沒有與電梯接觸），電梯內的乘客不可能分辨出加速度所抵消的引力場強度（假慣性參考系）或由真正為零的引力場強度及加速度（真慣性參考系）。

由此可見，無論任何動力學方法，只要有${\displaystyle m_{\text{I}}=m_{\text{G}}\,}$，是不能分辨引力場強度及加速度的動力學效應；甚至或是慣性參考系和非慣性參考系的動力學效應都是不能分辨，其中的兩類觀察者都是能用各自的方式去正確描述事實，所以這兩種分析方法是等效的，這就是弱等效原理。[1]

弱等效原理的論證，一直只是用經典力學的方法去嘗試分辨慣性參考系和非慣性參考系，並沒有提及用其他方法，如電磁學方法；另外，慣性質量及重力質量的關係能否再用狹義相對論的方式再驗証一次？畢竟只用上述方法是不足以說明在經典力學不適用的情形下慣性質量及重力質量依然有比例的關係。愛因斯坦於是利用質能關係${\displaystyle E=m_{\text{I}}c^{2}\ }$去說明在相對論的效果被考慮的情形下，若果假定一點的引力場（${\displaystyle -z}$方向）及一點的加速參考系（${\displaystyle +z}$方向）的物理學效應完全一樣，那麼不但慣性質量及引力質量依然有比例的關係，而且時間、空間都受到引力場的影響。

愛因斯坦的論証如下：設兩個備有量度儀器的物質體系 ${\displaystyle S_{1}}$ 和 ${\displaystyle S_{2}}$，位於存在重力的慣性參考系 ${\displaystyle K}$ 之 ${\displaystyle z}$ 軸上，彼此相隔為 ${\displaystyle h\ \mathrm {m} \,}$，令 ${\displaystyle S_{2}}$ 的引力勢比 ${\displaystyle S_{1}}$ 大 ${\displaystyle gh\ \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{-2}\,}$（即是 ${\displaystyle S_{1}}$ 比 ${\displaystyle S_{2}}$ 更近引力源）。有一定的能量${\displaystyle E\,}$以輻射形式從 ${\displaystyle S_{2}}$ 發射到 ${\displaystyle S_{1}}$。這時可利用量度儀器去量度 ${\displaystyle S_{1}}$ 和 ${\displaystyle S_{2}}$ 的能量，將這些裝置帶到 ${\displaystyle z}$ 軸的同一位置之上去進行比較，結果理應完全一樣。但我們不能先驗地論斷引力場對於輻射傳遞能量的過程沒有影響。但我們可以用一個均加速、沒有引力的參考系 ${\displaystyle K'}$ 去代替存在重力的慣性參考系 ${\displaystyle K}$ 去進行測量。我們用 ${\displaystyle K'}$ 相對一個沒有加速的 ${\displaystyle K_{O}}$ 去運動，去分析由 ${\displaystyle S_{2}}$ 輻射能量至 ${\displaystyle S_{1}}$ 的過程。當 ${\displaystyle S_{2}}$ 輻射能量至 ${\displaystyle S_{1}}$ 的瞬間，設 ${\displaystyle K'}$ 相對於 ${\displaystyle K_{O}}$ 的速度為 ${\displaystyle 0}$，當時間過去了${\displaystyle {h \over c}\,}$，輻射會到達 ${\displaystyle S_{1}}$ 而 ${\displaystyle K'}$ 相對於 ${\displaystyle K_{O}}$ 的速度為 ${\displaystyle v=g{h \over c}\,}$，根據狹義相對論和多普勒效应， ${\displaystyle S_{1}}$ 所得到的能量不是 ${\displaystyle E_{2}\,}$ 而是比${\displaystyle E_{2}\,}$ 大的 ${\displaystyle E_{1}\,}$。因为${\displaystyle K'}$做均加速运动，根据狭义相对论，当物体的速度越接近光速，越难加速，因此正在做均加速运动的${\displaystyle K'}$的速度必定远小于光速。${\displaystyle E_{1}}$和${\displaystyle E_{2}}$的關係是

${\displaystyle E_{1}=E_{2}\gamma (1+{v \over c})=E_{2}\gamma (1+{gh \over c^{2}})\,}$

由于${\displaystyle K'}$的速度远小于光速，${\displaystyle \gamma }$近似于${\displaystyle 1}$，故${\displaystyle E_{1}}$和${\displaystyle E_{2}}$的关系为

${\displaystyle E_{1}=E_{2}(1+{v \over c})=E_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,}$

根據以上的假定，同樣的過程發生在存在重力的慣性參考系 ${\displaystyle K}$ 之上會有同樣的效果，可用引力勢差${\displaystyle -\Delta \Phi >0\,}$去代替 ${\displaystyle gh\,}$，只要設 ${\displaystyle S_{1}}$ 關於引力的任意常數為 ${\displaystyle 0}$ 即可，結果是

${\displaystyle E_{1}=E_{2}-{E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,}$

在式子中，${\displaystyle E_{1}\,}$ 比 ${\displaystyle E_{2}\ }$ 多了 ${\displaystyle {E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,}$ 的引力勢能，而輻射本身就相當於多了一個引力質量 ${\displaystyle m_{\text{G}}={E_{2} \over c^{2}}\ }$，但由於${\displaystyle E=m_{\text{I}}c^{2}\ }$，這個引力質量不但必與慣性質量有關，而且必需要相等。愛因斯坦再用以下的過程詳細說明這一點：

1. 把能量 ${\displaystyle E\,}$ （在 ${\displaystyle S_{2}}$ 量度出的）以輻射形式從 ${\displaystyle S_{2}}$ 發射至 ${\displaystyle S_{1}}$ ，用上述之結果，可知 ${\displaystyle S_{1}}$ 吸收了能量 ${\displaystyle E(1+{gh \over c^{2}})\,}$ （在 ${\displaystyle S_{1}}$ 量度出的）。
2. 把一個具有引力質量 ${\displaystyle m_{\text{G}}\,}$ 的物體 ${\displaystyle W}$ 從 ${\displaystyle S_{2}}$ 下降至 ${\displaystyle S_{1}}$ ，這過程中 物體 ${\displaystyle W}$ 向外作了功 ${\displaystyle m_{\text{G}}gh\,}$。
3. 當物體 ${\displaystyle W}$ 在 ${\displaystyle S_{1}}$ 時，能量 ${\displaystyle E\,}$ 從 ${\displaystyle S_{1}}$ 輸送至物體 ${\displaystyle W}$ ，使物體 ${\displaystyle W}$ 的引力質量增加至 ${\displaystyle m'_{\text{G}}\,}$ 。
4. 把物體 ${\displaystyle W}$ 升回至 ${\displaystyle S_{2}}$ ，外界需要作功，其值即是 ${\displaystyle m'_{\text{G}}gh\,}$ 。
5. 把能量 ${\displaystyle E\,}$ 從物體 ${\displaystyle W}$ 送回至 ${\displaystyle S_{2}}$ 。

這個過程的結果只是能量在 ${\displaystyle S_{1}}$ 增加了 ${\displaystyle E({gh \over c^{2}})\,}$，而能量又以作功的形式 ${\displaystyle m'_{\text{G}}gh-m_{\text{G}}gh\,}$ 給出，所以

${\displaystyle E({gh \over c^{2}})=m'_{\text{G}}gh-m_{\text{G}}gh\,}$

或者

${\displaystyle {E \over c^{2}}=m'_{\text{G}}-m_{\text{G}}\,}$

引力質量的增加值等於能量的增加值，能量的增加值又要等於慣性質量的增加值。

其實這等效性可從參考系 ${\displaystyle K}$ 及 ${\displaystyle K'}$ 之間的等效性得出的：由於 ${\displaystyle K}$ 中的引力質量完全等於 ${\displaystyle K'}$ 中的慣性質量，因此能量本身必然有引力質量，其數值等於它的慣性質量。如果在 ${\displaystyle K'}$ 中（即是均加速參考系）有一個物體，質量為 ${\displaystyle M_{0}\,}$ 的掛在測力計上，由於物體的慣性，測力計會得出表觀重量 ${\displaystyle M_{0}g\,}$。如果把能量 ${\displaystyle E\,}$ 附加至物體之上，測力計必然會得出表觀重量 ${\displaystyle (M_{0}+{E \over c^{2}})g\,}$。根據假定，在參考系 ${\displaystyle K}$ 中 （在均勻引力場中） 重作這個實驗時，必然會有相同的結果。

所以，慣性參考系和非慣性參考系的任何效應都是不能分辨，其中的兩類觀察者都是能用各自的方式去正碓描述事實；而非慣性參考系的效應可以歸於慣性參考系中引力的效應，反之亦然，而這兩種效應是等效的。

從弱等效原理，可以推論出光的引力偏折及引力紅移這二個經驗的結果，並可證明用平直幾何去描述存在引力的時空之不適用性。

假設有一個“靜止”的電梯中的觀察者看到外面射進去的光是直線進行的；當電梯向上加速時，他會發現光會沿向下的彎曲曲線行進，光沿向下的曲線彎曲是因為參考系被加速；由於等效原理成立，光在引力場中必然有相同的現象。

再用剛才參考系的 ${\displaystyle K'}$ 去說明，現在 ${\displaystyle S_{1}}$ 和 ${\displaystyle S_{2}}$ 分別換上了測定頻率的裝置，有一輻射的頻率為${\displaystyle f_{2}\,}$由 ${\displaystyle S_{2}}$ 向 ${\displaystyle S_{1}}$ 輻射，在 ${\displaystyle S_{1}}$ 其頻率不會再是${\displaystyle f_{2}\,}$而是較大的${\displaystyle f_{1}\,}$，即是“藍移”，並且

${\displaystyle f_{1}=f_{2}(1+{v^{2} \over 2c^{2}})=f_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,}$

因為我們可以再引入一個沒有加速度的參考系 ${\displaystyle K_{O}}$，在輻射開始發射時， ${\displaystyle S_{1}}$ 相對 ${\displaystyle K_{O}}$ 的速度為 ${\displaystyle 0}$；在輻射到達 ${\displaystyle S_{1}}$ 後， ${\displaystyle S_{1}}$ 相對 ${\displaystyle K_{O}}$ 的速度為 ${\displaystyle g{h \over c}\,}$。根據多普勒效應及狹義相對論，作一級近似，便會得到上述藍移結果。 由於 ${\displaystyle K}$ 及 ${\displaystyle K'}$ 的等效性，可知這方程式對 ${\displaystyle K}$ 參考系亦有效，只要這座標系中亦有這輻射輸送過程。由此可知，一個輻射在 ${\displaystyle S_{2}}$ 於一定的引力勢${\displaystyle \Phi _{2}\,}$之下發射至 ${\displaystyle S_{1}}$ （引力勢為${\displaystyle \Phi _{1}\,}$），引力勢差為${\displaystyle \Delta \Phi =\Phi _{1}-\Phi _{2}=-gh<0\,}$。在應用位於 ${\displaystyle S_{2}}$ 的鍾測得輻射的週期為${\displaystyle T_{2}\,}$而得知頻率為${\displaystyle T_{2}^{-1}=f_{2}\,}$，在 ${\displaystyle S_{1}}$ 所測得的頻率為${\displaystyle f_{1}=f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}})\,}$，而週期為

${\displaystyle T_{1}=f_{1}^{-1}=(f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}}))^{-1}=T_{2}(1+{\Delta \Phi \over c^{2}})\,}$

即是在 ${\displaystyle S_{1}}$ 的週期比 ${\displaystyle S_{2}}$ 的週期短，由此可知靠近引力源的地方的時間比遠離引力源的地方的時間慢。

其實藍移及紅移是相對的，如果輻射從 ${\displaystyle S_{1}}$ 向 ${\displaystyle S_{2}}$ 發射，便會得到紅移的結果，習慣上會把這現象稱為“引力紅移”。

Schild 在 60 年代提出一個論據，等效原理的成立表明自洽的引力理論無法在狹義相對論的框架內完成。

他的證明如下：考慮一個觀察者在地球表面上高${\displaystyle z_{1}\,}$ 處，有另一個觀察者在地球表面上高${\displaystyle z_{2}=z_{1}+h\,}$ 處彼此相對靜止（即是上述的 ${\displaystyle S_{1}}$ 和 ${\displaystyle S_{2}}$ ）。觀察者可通過觀察來得知彼此相對靜止，並且他們相對於地球的洛侖茲參考系也是靜止的。在這條件下在 ${\displaystyle S_{1}}$ 發出固有頻率${\displaystyle f_{1}\,}$的電磁訊號，在 ${\displaystyle S_{2}}$ 接收到，頻率為${\displaystyle f_{2}\,}$；為了識別訊號， ${\displaystyle S_{1}}$ 和 ${\displaystyle S_{2}}$ 的觀察者約定訊號有${\displaystyle N\,}$個週期長的脈衝，則發射時所需的時間是${\displaystyle \Delta t_{1}\,}$由${\displaystyle N=f_{1}\Delta t_{1}\,}$定出。而在 ${\displaystyle S_{2}}$ 的接收者所需要的吸收時間${\displaystyle \Delta t_{2}\,}$是由${\displaystyle N=f_{2}\Delta t_{2}\,}$定出。由於根據引力紅移：${\displaystyle f_{1}>f_{2}\,}$，所以必然有${\displaystyle \Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,}$，時間間隔也就不同了，而人們可在固定的${\displaystyle \Delta t\,}$ 後再發射多一次訊號。把這個情況用狹義相對論的時空圖去分析，光在時空圖沿 ${\displaystyle 45^{\circ }}$ 的零線移動，在上述的情況下在時空圖中已畫了一個平行四邊形，但它的對邊不對等，即是${\displaystyle \Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,}$；在平直時空中，這是不可能的。有人提出一個問題：既然光在引力場傳播，光線必然彎曲，而不會沿 ${\displaystyle 45^{\circ }}$ 的零線移動。但重要的是：引力場是靜止的，質驗者也沒移動，所以實驗中沒有裝置隨時間變化，所以甚麼的光線移動的路徑必然是全等的，結果仍是${\displaystyle \Delta t_{1}<\Delta t_{2}\,}$。即是該平行四邊形無法合攏，如要合攏即要平行四邊形“拱”起來，但在平直時空中是不可能的。

以上論証並未提供引力場所需的彎曲時空，但已說明了如果等效原理要成立，平直時空中要完成引力理論是不可能的；甚至是用全域的加速參考系去正確描述引力也是不可能的。