算术基本定理

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A}$. 其中 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}}$ 而且 ${\displaystyle p_{i}}$ 是一个質数，${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}}$.

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數${\displaystyle p|ab}$，则不是 ${\displaystyle p|a}$，就是${\displaystyle p|b}$。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )}$ 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 ${\displaystyle D}$ 是 ${\displaystyle D=163}$。例如，${\displaystyle 6}$可以以兩種方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整數乘積：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 ${\displaystyle (\pm 1,\pm i)}$ 之作用，那麼這個唯一分解定理在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

对于二次方程：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$，它的根可以表示为： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$

因为负数不能开平方，${\displaystyle b^{2}-4ac}$的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}$ 两个复数解為: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}$

${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$哪个${\displaystyle d}$值可以得到唯一分解定理？ ${\displaystyle d=1,2,3}$皆可得到定理，但當${\displaystyle d=5}$时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 ${\displaystyle 6=2\times 3}$；${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。在高斯时代，已知有9个${\displaystyle d}$使得${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$所产生的数有唯一因子分解（${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$如上面指出那样取值）。 ${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}$高斯认为${\displaystyle d}$的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个${\displaystyle d}$值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了紀念长期被忽视的希格内尔，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

• （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于）