线性映射

任何的體 ${\displaystyle K}$ 本身就是一維的（係數為自身的）向量空間，所以可以考慮任何從係數體同樣為 ${\displaystyle K}$ 的向量空間 ${\displaystyle V}$ 送往 ${\displaystyle K}$ 的線性映射，這類線性映射被稱為線性泛函。研究線性泛函的學科是線性泛函分析，是泛函分析最成熟的分支。

• 線性映射中的「線性」與「函數圖形是直線」沒有任何關聯。

• 定義域和對應域相同的線性映射可以進行函數合成，合成的結果依然會是線性映射。但是如果改變合成的順序，那合成出來的結果通常不會相同。例如「把函數乘上 ${\displaystyle x^{2}}$ 」和「對函數進行微分」都是線性算子，但是對一個函數「先乘上 ${\displaystyle x^{2}}$ 再進行微分」和「先進行微分再乘上 ${\displaystyle x^{2}}$ 」是不同的線性映射。[2]

• 維持向量加法的映射可能不維持純量乘法；同樣地，維持純量乘法的映射也可能不維持向量加法。[3]

假設 ${\displaystyle T:V\to W}$ 是個線性映射，且

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}}$

分別是 ${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle W}$ 的基底。

根據基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 的基本定義，對於每個基向量 ${\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}$ ，存在唯一一組純量 ${\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}$ 使得

${\displaystyle T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}}$

直觀上，純量 ${\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}$ 就是對基向量 ${\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}$ 的作用結果 ${\displaystyle T(\alpha _{i})\in W}$ ，在基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下的諸分量。

現在任取一個 ${\displaystyle V}$ 裡的向量 ${\displaystyle v\in V}$ ，因為基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}$ 的基本定義，存在唯一一組純量 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K}$ 使得

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}}$

這樣根據求和符號的性質，可以得到

${\displaystyle T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}}$

然後考慮到 ${\displaystyle T(v)\in W}$ ，所以根據基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 的基本定義，存在唯一一組純量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K}$ 使得

${\displaystyle T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}}$

因為這樣的純量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K}$ 是唯一存在的，所以對 ${\displaystyle j=1,\,2,\,\ldots ,\,m}$ 有

${\displaystyle \lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}}$

考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$

也就是說，只要知道 ${\displaystyle T(\alpha _{i})}$ 在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下的諸分量 ${\displaystyle t_{ji}}$ ，任意向量 ${\displaystyle v\in V}$ 的作用結果 ${\displaystyle T(v)}$ ，都可以表示為矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 與行向量 ${\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}$ 的乘積。更直觀的來說，矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 就是把 ${\displaystyle T(\alpha _{i})}$ 的諸分量沿行（column）擺放所構成的。

由上面的推導可以知道，不同的基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}$ 和 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下，矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 也不同，為了強調這點，也會將矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} }$ 記為

${\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}$

來強調這種關聯性。

若 ${\displaystyle T:V\to V}$ ，在同個向量空間 ${\displaystyle V}$ 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}}$ 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為

${\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}$

若有由 ${\displaystyle m\times n}$ 個純量構成的矩陣 ${\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}$ ，如果取 ${\displaystyle f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}}$ 為

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }$

其中

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}}$

因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函數定義的基本要求。然後考慮 ${\displaystyle K^{n\times 1}}$ 和 ${\displaystyle K^{m\times 1}}$ 都可以視為定義在同個純量體 ${\displaystyle K}$ 上的向量空間，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數 ${\displaystyle f}$ 的確符合線性映射的基本定義。

1. 把線性映射寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和覆合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。[12]當空間的基變化（坐標系變換）時，線性映射的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性映射，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以通過適當的變換以“解耦”（把覆雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
2. 遇到${\displaystyle y=x+3}$這樣的加上了1個常量的非線性映射可以通過增加1個維度的方法，把變換映射寫成2×2維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性映射轉化為線性映射。這個辦法也適用於處理在高維線性變換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械制造和機器人學）中都有大量應用。
3. 對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化（不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的準對角矩陣），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變量）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣${\displaystyle A}$，要求出${\displaystyle A}$自乘${\displaystyle n}$次後的結果${\displaystyle A^{n}}$，一個一個慢慢地乘是很麻煩的事情。而知道對角化技巧的人會發現，在將這矩陣對角化後，其乘法運算會變得格外簡單。實際應用中有很多有意思的問題或解題方法都會涉及到矩陣自乘n次的計算，如1階非齊次線性遞推數列通項公式的線性代數求解法和馬爾可夫鏈的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個0的條件[13]，以便簡化計算（這是主要原因之一）。

自同態是一個數學對象到它本身的保持結構的映射（同態），例如群${\displaystyle G}$的自同態則是群同態${\displaystyle f:G\to G}$。對於向量空間${\displaystyle V}$，其自同態是線性算子${\displaystyle f:V\rightarrow V}$；所有這種自同態的集合${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$與如上定義的加法、覆合和純量乘法一起形成一個結合代數，帶有在體${\displaystyle K}$上的單位元(特別是一個環)。這個代數的乘法單位元是恒等映射${\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}$。

若${\displaystyle V}$的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的覆合再次是自同構，所以${\displaystyle V}$的所有的自同構的集合形成一個群，${\displaystyle V}$的自同構群可表為${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$或${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$。因為自同構正好是那些在覆合運算下擁有逆元的自同態，所以${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$也就是在環${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$中的可逆元群。

如果${\displaystyle V}$之維度${\displaystyle n}$有限${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$同構於帶有在${\displaystyle K}$中元素的所有${\displaystyle n\times n}$矩陣構成的結合代數，且${\displaystyle V}$的自同態群同構於帶有在${\displaystyle K}$中元素的所有${\displaystyle n\times n}$可逆矩陣構成的一般線性群${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$。

• Michael Artin. [代數] 2. Pearson. 2010. ISBN 978-0132413770.
• Sheldon Axler. [線性代數應該這樣學]. 圖靈數學•統計學叢書. 杜現昆 (漢譯者); 馬晶 (漢譯者). 人民郵電出版社. 2009. ISBN 9787115206145 （中文（中国大陆））.
• Peter D. Lax. [泛函分析]. 圖靈數學·統計學叢書. 侯成軍 (翻譯); 王利廣 (翻譯). 人民郵電出版社. 2010. ISBN 978-7-115-23174-1.
• Richard Feynman. [費曼物理學講義] 1. Addison-Wesley. 1999. ISBN 978-0201021165.

• Halmos, Paul R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.