罗素悖论

我们通常希望：任给一个性質(例如：「年滿三十歲」就是一個性質)，满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设有一性質${\displaystyle P}$，並以一性質函数表示：${\displaystyle P(x)}$，且其中的自變量${\displaystyle x}$有此特性：${\displaystyle x\not \in x}$，

现假设由性质${\displaystyle P}$能夠确定一个滿足性質${\displaystyle P}$的集合${\displaystyle A}$——也就是说 ${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$。那么现在的问题是${\displaystyle A\in A}$是否成立？

首先，若${\displaystyle A\in A}$，则${\displaystyle A}$是${\displaystyle A}$的元素，那么${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，由性質函数${\displaystyle P}$可以得知${\displaystyle A\not \in A}$；

其次，若${\displaystyle A\not \in A}$，根據定義，${\displaystyle A}$是由所有滿足性質${\displaystyle P}$的類組成，也就是说，${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，所以${\displaystyle A\in A}$。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论：

一个城市里唯一的理发师立下了以下的规定：只帮那些自己不理发的人理发。

　　现在问一个问题：理发师应该为自己理发吗？

　　你会发现理发师处于两难，因为:

• 如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发。

• 如果理发师是自己理发的，他需要遵守规则，不给自己理发。

理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人对应一个集合，这个集合的元素被定义成这个人理发的对象。那么，理发师宣称，他对应的集合裡的元素，都是城里不属于自己对应的集合的人，并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合，那么他是否属于他自己对应的集合？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的[1]。

另一種等價的悖論為書目悖論，第一類的書的目錄有它自己的條目，經典的例子就是維基百科（以及多數的网络百科全书）。第二類的書目錄則沒有它自己的條目，一般的書目都是如此，問：今有一圖書館員，想將第二類的書名編輯成一冊，則將所有第二類書籍名稱統整的該書該不該擁有自己名稱的條目？

假設（1）：擁有自己名稱的條目

假設（2）：不擁有自己名稱的條目

分析：

假設（1）：擁有自己名稱的條目

        表示該書是一本第一類的書
        =>與命題不符（該書目錄只有第二類）=>是第二類的書

假設（2）：不擁有自己名稱的條目

        表示該書為一本第二類的書
        =>與命題不符（在目錄沒有該書名）=>是第一類的書

因为，如果把每本書对应一个集合，这个集合的元素被定义成這本書分類的方式。那么，該統整書对应的集合裡的元素，都是館內不属于自己对应的集合的書，并且館內所有不属于自身对应集合的書都属于該統整書对应的集合，那么該書是否属于它自己对应的集合？这样就由書目悖论得到罗素悖论。

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论（除了依赖模糊性的双面真理），其问题几乎都是自指或自相关而引起。[2] 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述）， 但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的邏輯哲學論3.333,任何命題不能包含自身,同理一個函數不能包含自身。 例子: 假設一個函數${\displaystyle F(fx)}$,如果命題不能不包含自身(即可以包含自身),那麼就會有${\displaystyle F(F(fx))}$這個命題就會同一個F但有2個意義的情況。內層F為φ${\displaystyle (fx)}$,外層F為Ψφ${\displaystyle (fx)}$。應寫成「(∃φ):F(φu). φu」(维特根斯坦用「.」表示 「&」) 由此解決羅素悖論本身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。英国数理逻辑学家罗素 (Russell,B. A. W.)提出了恶性循环原则(vicious circle principle)，[3] 即没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体来定义的元素，借以排除悖论。[2] 逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则(vicious circle principle)， 则可以避免类似罗素悖论和说谎者悖论等自指性悖论。可是直接应用恶性循环原则检验命题并非一件易事。

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